高次骨格の基本推論

高次骨格はずっと気になっている。高次ラッセル／バーンサイド代数というとカッコイイかも知れない。以下、ある種の同値関係と簡単な推論図に関してメモ。

Cを2-圏とする。話を簡単にするために厳密（strict case）とする。Cのホム圏C(A, B)は圏だから、このなかで対象（もとのCでは1-セル）の同型が考えられる。それを 〜_A,B とする。

• f 〜_A,B f' ⇔ α::f→f':A→B となる可逆2-セルαがある。

〜_A,Bが集合|C(A, B)|（もとの1-セルの集合）の同値関係であることは明らか。

1. f 〜 f （恒等2-セルは可逆だから）
2. f 〜 f' ⇒ f' 〜 f （逆もまた可逆）
3. f 〜 f', f' 〜 f'' ⇒ f 〜 f'' （可逆2-セルの結合は可逆）

各A, B∈C⁰（Cの0-セルの集合）に対して、Iso(C(A, B)) を割り当てると、亜群で豊饒化された圏になる。以下の議論は、実際に豊饒圏になってるかどうか、って話でもある。

この状況で非常に基本的な推論は次の2つ（実際にはバリエーションがいくつかあるが）。

   f 〜 f' : A→B    g 〜 g' : B→C

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    f;g 〜 f';g' : A→C


  f;g 〜 h : A→C   f 〜 f' : A→B

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   f';g 〜 h : A→C

1-セルの同値を与える可逆2-セルを明示的に書いて α:: f 〜 f' : A→B のような書き方を使う。すると、

   α:: f 〜 f' : A→B   β:: g 〜 g' : B→C

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    α*β :: f;f' 〜 g;g' : A→C

  γ:: f;g 〜 h : A→C   α:: f 〜 f' : A→B

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   (α^(-1)*Id_g)|γ :: f';g 〜 h : A→C

と具体的に同値を与える2-セルを書き下せる。ここで、* は横結合、| は縦結合。この2つの推論が成立する根拠は、縦結合と横結合の交替法則。エックマン／ヒルトンにしろ、これにしろ、やっぱり交替法則は本質的なんだ、と感じる。

次は、亜群の圏Grpoidに直積でモノイド構造を入れて、実際に豊饒圏の定義を確かめる。それと、2-圏の1-骨格として圏ができることを確認する必要がある。勘違いしてなければ、今示した推論があればOKのはず。