高次骨格と高次亜群

1日15分くらいずつ考えている感じだな。高次骨格の構成はそれほど単純じゃないかもな。

Cが2-圏として、C¹をCの1-セルの集合だとする（1以下のセルではない）。C⁰の同値（2-同値）をもとにして、C¹にも普通の同値関係を入れられるが、期待した構造とはどうも違う。「期待」のほうが間違っていた感じがする。

0-セルAとBが同値であることは、i:A→B と i^#:B→A があって、i;i^# 〜 1_A、かつ i^#;i 〜 1_B なこと。i^# はiから一意的に決まるものではない。〜_A,A、〜_B,B を基点をA, Bとしたループのホモトピーのように考えると、up-to-homotopyで可逆ということになる。だから、i^#は、ホモトピー的な逆だとはいえる。

2つの1-セル f:A→B、f':A'→B' の同値は、0-セルの同値i:A→A'、j:B→B' があって、f = i;f';j^# と書けること、と定義できる。

以上の定義が妥当かどうか自信がないが、ともかくも作業仮説としていじってみると、亜群の圏の圏対象（内部圏）が出てくる。2-圏の骨格は圏ではなくて、内部圏として定義すべきだという可能性もある（ハッキリしないが）。となると、n-亜群とω-亜群が何であるか、n-亜群の圏の(n-1)-圏対象が何であるかが興味の対象となる。

1-亜群が、同値関係を持った集合の直接的な拡張であるなら、n-亜群が高次の同値関係と関係を持つだろう、という予測は自然な気がする。まー、自然でも実態が分かるまでは予測に過ぎないが。