ラックス擬関手
誰だったか（ベナボウ、ケリー、アイスベルあたり）が、豊饒圏論はラックス関手理論のごく特殊な例だ、と言ったという話だが、だいたいの事情はわかった。
その前に言葉づかいだが、
| モノイド圏 | 双圏 |
|---|---|
| （強）モノイド関手 | 擬関手 |
| ラックス・モノイド関手 | ラックス関手 |
| 反ラックス・モノイド関手 | 反ラックス関手 |
となっている。形容詞「双」を系統的に使えば、
| モノイド圏 | 双圏 |
|---|---|
| （強）モノイド関手 | （強）双関手 |
| ラックス・モノイド関手 | ラックス双関手 |
| 反ラックス・モノイド関手 | 反ラックス双関手 |
となるが、それは出来ない→「余」と「双」の使い方がバラバラ - 檜山正幸のキマイラ飼育記。
「双」の代わりに「擬」を使うなら、
| モノイド圏 | 双圏 |
|---|---|
| モノイド関手 | 擬関手 |
| ラックス・モノイド関手 | ラックス擬関手 |
| 反ラックス・モノイド関手 | 反ラックス擬関手 |
となる。この用語法を使うことにする。
で、まず、単なる集合（類でもよい）Xから、双圏Bを作る。
- Bの0-セルはXの要素とする。
- Bの1-セルはX×Xの要素＝順序対とする。
- x, y∈X に対するホム圏B(x, y)は自明な圏（単一対象の離散圏）とする。
- f = (x, y)∈B(x, y), g = (y, z)∈B(y, z) に対する横結合は、f*g = (a, c) とする。
- これで2-圏となるが、2-圏は双圏である。
これは、
- 縦方向は離散圏
- 横方向は余離散圏
として作った2次元圏である。この構成法は、集合圏から双圏の圏への関手となる。
次に、モノイド圏Cの次元をシフト（bump up）して双圏を作る。縦結合はもとの結合、横結合はモノイド積とする。出来た双圏を同じ記号Cで表す。
ラックス擬関手 H:B→C を考える。ラックス擬関手は、台関手H以外に、乗法 (μf,g | f, g∈B1) と単位 (εx | x∈B0) を持つ。H = (H, μ, ε) がラックス擬関手全体となる。
- ラックス擬関手の台関手H ＝ 豊饒圏のホム関手
- ラックス擬関手の乗法系μ ＝ 豊饒圏の結合
- ラックス擬関手の単位系ε ＝ 豊饒圏の恒等
[追記]
http://arxiv.org/abs/1307.7216 に、
The theory of enriched categories can be viewed, in a certain way, as a small part of the theory of lax functors. This remark goes back to Bénabou [2] and Street [7] who observed that enriched categories are the same as thing as lax functors indexed by indiscrete categories (also called chaotic, or coarse categories).
[2] Jean Bénabou. Introduction to bicategories. In Reports of the Midwest Category Seminar, pages 1–77. Springer, Berlin, 1967.
[7] Ross Street. Enriched categories and cohomology. Repr. Theory Appl. Categ., (14):1–18, 2005. Reprinted from Quaestiones Math. 6 (1983), no. 1-3, 265–283 [MR0700252], with new commentary by the author.
[/追記]
[追記]あと、http://arxiv.org/abs/1209.4436 も参照。[/追記]
