インスティチューション的データベース

リレーショナルと言わずに形容詞もリレーションで済ませる。で、リレーションスキーマとリレーション指標（relational signature）は同義語。Sがリレーション指標とは、Sのインデックスセット|S|があり、ドメイン割り当て δ_S:|S|→|Set| があること。

指標射 j:S→T は、|S|から|T|への単射で、ドメイン割り当てを保つもの。SとTの直和は、インデックスセットの直和として定義できる。空指標があり、直和の単位対象となっている。j, k:S→T に対して、余等値核が作れるが、これは埋め込み像の合併である。スパン j:S→T, k:S→U があると、コファイバー和が作れるが、これは埋め込み像の同一視による貼り合わせである。

以上から、リレーション指標の圏は有限余完備となり、余デカルト圏となる。余デカルト積を固定することによって、モノイド余デカルト圏となる。単位対象は空指標。インデックスセットを有限集合に限ってもモノイド余デカルト圏。

RSigをリレーション指標の圏として、反変関手Tu:RSig→Setを、依存積空間を作ることで定義する。Tu(S)を、指標Sのタプル空間、Tu(j:S→T):Tu(T)→Tu(S) をタプル射影と呼ぶ。SetをRelに埋め込むと、Tu:RSig→Rel が出来る。

新しい圏RShipを次のように作る。

• |RShip| = |RSig|
• RShip(S, T) = Rel(Tu(S), Tu(T))

TuはRSigからRShipへの反変関手ともみなせる。RSigの余デカルト構造は、RShipのモノイド構造に反映される。RShipは次の性質を持つ。

• 直積があるが、直積は圏論的直積でも直和でもない。モノイド積である。
• 圏論的双積は直和で与えられるが、双積は考えない。双積を考えることは、ヘテロジニアステーブル、バリアントテーブルを考えることになる。
• モノイド積は、対象＝指標のレベルでは直和、射＝関係のレベルではペア直積である。
• ホムセットは、ブール束で豊饒化されている。豊饒モノイド圏である。
• RShip(A+B, C) RShip(A, B+C) が成立する。直和関手の随伴が直和関手になって、モノイド閉である。