非対称厳密モノイド圏の厳密多圏

Cが非対称（対称とは限らないという意味）厳密モノイド圏だとして、対応する多圏Poly(C)を定義する。

S = |C|^*（クリーネスター）として、Sは連接で厳密なモノイドになるとする。α = (A₁, ..., A_n), β = (B₁, ..., B_m) をSの要素として、PolyHom(α→β) := C(<α>, <β>) と定義する。ここで、

• <α> := A₁ ... A_n in C

より正確に言えば、PolyHom(α→β) の要素は、(α, f, β) のトリプル。f∈C(<α>, <β>)。id_αの定義は自明だろう。

β = β₍₁₎β₍₂₎、φ = φ₍₁₎φ₍₂₎ を連接に関する分解とする。f:α→β g:φ→ψの結合を、

• 前右-後左結合： β₍₂₎ = φ₍₁₎ のとき結合可能とする。共通部分で縮約する。
• 前左-後右結合： β₍₁₎ = φ₍₂₎ のとき結合可能とする。共通部分で縮約する。

結合を f(β₍₂₎><φ₍₁₎)g と f(β₍₁₎<>φ₍₂₎)g のように書くことにする。結合に使う共通部分が空のときはモノイド積（連接、マージ、併置）となる。

モノイド積も含めて任意の結合が、結合律と単位律を満たすとき、厳密多圏と呼ぶ。厳密モノイド圏から作った厳密多圏は、もとのモノイド圏に対する計算デバイスを与える。

厳密多圏でできる計算は、

1. モノイド積（併置、マージ）
2. 前右-後左結合（カット）
3. 前左-後右結合（カットの別な形）
4. Iの挿入と削除