Poly(C)の構成の方法 (2)

1. 記法を変える。PolyFull(C)じゃなくて、Seq(C)にする。
2. Seq(C)は単なる圏。その対象を列（シーケンス）、その射をシーケントと呼ぶ。
3. Seq(C)のモノイド積（連接）は、# と書く（++, ##の略記）。
4. |Seq(C)| = |C|^*
5. Seq(C)(Γ, Δ) C(Prod(Γ), Prod(Δ))
6. シングルトン列 Sing: C→Seq(C) は関手となる。
7. 総積 Prod:Seq(C)→C は関手となる。
8. CとSeq(C) は圏同値である。
9. Singはモノイド関手である。
10. Prodはモノイド関手である。
11. CとSeq(C) はモノイド圏同値である。
12. Seq(C) は厳密モノイド圏である。
13. C上にスワップ構造（後述）があれば、Seq(C)にもスワップ構造を誘導できる。
14. CとSeq(C) はスワップ構造も含めて同値である。
15. Seq(C) は、厳密なスワップ構造を持つ厳密モノイド圏である。

Poly(C)の構成の方法 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編の部分対称構造は要らない。もっと単純なスワップ構造だけでいい。

スワップ構造：

• S⊆|C|×|C|
• (A, B)∈S ⇔ A↔B という記号を使う。
• A↔B かつ A↔C ⇒ A↔(BC)
• A↔C かつ B↔C ⇒ (AB)↔C

Sの条件はこれだけでよくて、バンドリング／アンバンドリング法則＝アクション性を持てばそれでいい。非厳密な場合のアクション性を書いておくと：

• α_{A, B, C} : (AB)C → A(BC) とする（逆の定義もある）。
• σ_{A, BC} = (α_{A, B, C}^)-1;σ_{A, B}C;α_{B, A, C};Bσ_{A, C}

厳密モノイド圏なら、

• σ_{A, BC} = σ_{A, BC};Bσ_{A, C}