対称半リボン圏と擬内積ベクトル空間の圏 - (保存用) 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編

内積付きの線形代数の定式化として、対称半リボン圏がいいような気がした。いや、いいよ、これはいいよ、非常にいいよ。

まずリボン圏に関しては、

nLabの説明は矢鱈に短いが、リンクをたどれば納得できる。

リボン圏のベースとなるのはブレイド圏。それにツイストの族が付く。ツイストとバランシング／バランスは同じ意味。よって、形容詞twistedとbalancedも同じ。

半リボン圏のベースはブレイド付きコンパクト閉圏。全ひねり（full-twist）の代わりに半ひねり（half-twist）を入れたもの。半ひねりは、ρ_X:X→X^*でリボン圏、プレ・リボン圏 - 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編に書いた性質を持つ。

対称半リボン圏では、

ブレイディングが対称である。つまり、対称モノイド圏になる。
半ひねりに関して、ρ_X;ρ_X* $\stackrel{\sim}{=}$ X が成立する。このとき、X^** $\stackrel{\sim}{=}$ X を使う。（事前に、X^** $\stackrel{\sim}{=}$ X が必要。）

ベクトル空間の擬内積とは、内積から正定値性と対称性を除いたもの。擬内積を持つベクトル空間を対象として、線形写像（擬内積を保存する必要はない）を射とする圏を考える。Xの擬内積によって導かれる X→X^*を、仮に擬内積の構造射（同型になる）と呼ぶ。

「双対、共役、随伴」は用語法が安定してないので、ケースバイケースで言葉と概念を割り当て直す必要がある。

この表の対応を使うと、擬内積空間の圏を非常にキレイに説明できる。

幾つかポイントを挙げれば：

二重双対がラウンドトリップする。ラウンドトリップ同型（involutive lawのrator）は自然同型で系統的に与える必要がある。
評価スカラー積（標準スカラー積、標準双線形形式）と擬内積は互いに定義しあうので、どちらがプライマリということはない。
スター関手とダガー関手も、半ひねりを使って互いに定義しあえるので、どちらがプライマリということはない。
スター関手の対合性＝二重双対のラウンドトリップ性と半ひねりの対称性（これも対合性、ラウンドトリップ性）が肝。
半ひねりの存在により、自己双対なコンパクト閉圏が作れる。このときの双対メイトはダガーで与えられる。
スター関手と半ひねりからダガー関手を作れるが、ダガー関手のみでスター関手と半ひねりを消してしまうことが出来る。これが内積オンリーな理論。
自己双対なコンパクト閉圏に、対合的なスター関手（ラウンドトリップ自然変換 involutive rator を持つ関手）を入れれば、自己双対ではないコンパクト閉圏を作れる。
擬内積が対称性（余可換性）を持てば、ベクトルのダガーメイト対応は、擬内積の構造射と一致する。

いやー、物凄くスッキリしたわ。