カロウビ展開圏の定義

カロウビ展開圏 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)のコピー

---

与えられた圏Cに対して、新しい圏Kを作ります。その作り方を順に述べます。まず、Kの対象は、Cのベキ等射とします； a∈|K| ⇔ aはCのベキ等射 ⇔ a;a = a inc C。Kの射 f:(A,a)→(B, b) は次の条件を満たすCの射だとします

• f:A→B in C
• a;f:b = f

Kにおける射の結合は、Cにおける射の結合をそのまま使います。この定義を正当化するには、次を示す必要があります。

• f∈K(a, b), g∈K(b, c) ならば、f;g∈K(a, c)

言い換えると：

• f∈C(A, B), g∈(B, C) で a;f;b = f, b;g;c = g ならば、a;(f;g);c = f;g

これは簡単に示せますね。Kにおける「;」の結合律は、Cにおける結合律から従います。

a∈|K| に対して、Kにおける id_a は、a:A→A in C で定義します。id_a∈K(a, a) とは次のことですから、あきらかです。

• a;a;a = a in C

id_a がKにおける恒等になっているとは：

• f∈K(a, y) ならば id_a;f = f
• g∈K(x, a) ならば g;id_a = g

これをC内の命題で表現すれば：

• f∈C(A, Y), a;f;y = f ならば、a;f = f
• g∈C(X, A), x;g;a = g ならば、g;a = g

これもすぐに分かります。

こうして作った圏Kを、Cのカロウビ展開圏と呼び、K = KE(C) と書くことにします。