バーンサイド関手とバーンサイド系

忘れそうだからモシャモシャとメモしておく。[追記]バーンサイド（Burnside）を形容詞に使うのはどうか？[/追記]

Rを圏のレルムだとする。つまり、Rの対象は圏なので、U:R→Cat という忘却関手を持つ。Rは、圏のセオリーの拡張セオリーのモデル圏になっている。

Cを圏だとして、バーンサイド関手（Burnside functor）は、B:Eq(R)→C という関手。圏にCの対象を対応させるが、Rの射（関手）にCの対象を割り当てることは要求しない（できないことが多い）。Eqは、圏同値を射とする圏を作る操作である。Eq(R)は亜群となる。

バーンサイド関手が何であるかは後回しにして（いずれ書くつもり）、用語法だけメモしておく。B:Eq(R)→C の値であるB(A)∈|C| を、圏Aのバーンサイド系、バーンサイド構造などと呼ぶ。値を取る圏Cによって適当なネーミングをする。

• C = Set なら バーンサイド集合
• C = Mon なら バーンサイド・モノイド
• C = Semigrp なら バーンサイド半群
• C = Rng なら バーンサイド環
• C = Semirng なら バーンサイド半環（or リグ）

バーンサイド系に構造を持たせるには、もとのレルムが対応する構造を持つ圏のレルム（対応する構造を定義するセオリーのモデル）でなくてはならない。例えば、バーンサイド・モノイドを定義するには、モノイド圏のレルムが必要になる。