双対と随伴

ストリート（Ross Street）が、双対（a duality）の記法として、A -| B を採用している（「ストリートの用語法と記法」参照）。この記法が具合がいいのは、関手の随伴と同じだからだ。

対象の双対ペアと関手の随伴ペアが並行的に扱える。モノイド圏を、対象が1個しかない2-圏だと思うと、対象の双対ペアは1セルのペアとなり、関手の随伴ペアと同じように扱える。つまり、双対も随伴も、ある2-圏の1セルのあいだの関係とみると同じ枠組みで議論できる。

左双対／右双対と左随伴／右随伴も並行的な定義となる。F -| G のとき、随伴の単位 η:I→F;G は、A -| B の単位 η:I→A×B と同じになる。特に、圏Cの自己関手の圏End(C)を非可換なモノイド圏と考えると、このモノイド圏における双対と自己関手の随伴はまったく同じ定義になる。双対が定義する自明なモノイドとコモノイドがEnd(C)の場合はモナドとコモナドになる。

End(C)において、フロベニウスモノイド（フロベニウス代数）とは何か、双モノイドとは何か？ などは面白いかもしれない（つまんないかもしれない^^;）。