振る舞い同値

ホッピングボール・マシンFに対して、その振る舞い行列をBeh(F)として、F≡G :⇔ Beh(A) = Beh(G) と定義して、F≡G とは何であるか？を分析したい。

ところがまた、用語の問題がある。F≡G を振る舞い同値（behavioural equivalence）と呼びたいが、通常の振る舞い同値はこんな定義ではない。Sが遷移系として、台集合もSで示す。x, y∈S が振る舞い同値とは、どんな可視コンテキストcに対しても c(x) = c(y) であること。cは可視なので、c(x)の値は可視な値であり、イコールも可視値に対する（ホントの）等しさである。

遷移系SとTが同じ指標を持つなら、可視コンテキストの集合（試験集合とか実験観察集合と呼んだほうが適切）は同じだから、x∈S, y∈T であっても、sとtが振る舞い同値であることは定義できる。S, Tが初期状態をただ1つ持つような遷移系なら、(S, x), (T, y)がシステムとして振る舞い同値なことを、点xと点yが振る舞い同値であることにより定義できる。

よって、振る舞い同値性は、必ずしも状態点に限定せずに使えるのだが、初期状態が複数あるシステムだと定義がやや難しくなる。I⊆S, J⊆Tとして、(S, I), (S, J)が振る舞い同値は、x∈Iに対して、y∈J が存在して(S, x)と(T, y)が振る舞い同値になることだろう。

模倣可能（simulatable）とか互いに模倣可能（mutually simulatable）とかも既存用語と食い違うかもな。僕は次が同じ意味でもいいと思っているが：

1. 2つのシステムが振る舞い同値
2. 2つのシステムが互いに模倣可能
3. 双模倣関係（bisimulation relation）が存在する
4. 双模倣的（bisimular）