境界付きシステム
僕の動機・要求からは境界付きシステムの定式化は必須で、これは離散組合せ的コボルディズムのようなナニカをベースにする。離散集合には幾何的構造が前もっては存在しないので苦労する。次元や連結成分の概念が使えない。
で、境界となる状態空間の部分集合に前もって同値関係を入れておくことにした。つまり、コボルディズム圏の対象は同値関係付きの集合とする。コボルディズム圏の射（境界付きの図形）には、前もっての同値関係は考えない。以下、同値関係付きの集合をE集合と呼ぶ。
境界であるE集合の同値類は連結成分の代わりに使う。境界は連結成分（同値類）の直和表示ができる。E集合の直和と直積もE集合だから、直和／直積構成しても直和表示の可能性は保存される。（課題：E集合の圏を調べる。）
ここでは、連結成分＝同値類が有限個であるE集合だけを考える（この制限ははずせるが）。全状態空間Xの始境界をA、終境界をBとする。AとBの直和分解を A = A1 + ... + An、B = B1 + ... + Am とする。この境界付き状態空間（コボルディズム圏の射）に対して適合するアルファベットを次のように定義する。
Σを記号の集合として、Σには、A1 + ... + An, B1 + ... + Am でインデックスされた (n+m)個の部分集合が指定されている。それらを、
- Σ-[Ai] （i = 1, ..., n）
- Σ+[Bj] （j = 1, ..., m）
とする。プラスマイナスは極性で、なにか区別できる2つの記号なら何でもよい。これらの部分集合は空でもよいし、特に制限もない。ΣとΣ-[Ai], Σ+[Bj] （j = 1, ..., m）を組み合わせた構造が境界付きアルファベットだが、単にΣで境界付きアルファベットを表す。
連結成分に分割された始境界／終境界を持った状態空間、その境界と適合した境界付きアルファベット（そう呼ぶことにする）があると、境界付きシステムを定義できる。境界付きシステムは、Σをラベル集合とするラベル付き遷移系で、境界に関するホーア流の制約を満たすものだ。（「ステージ付き遷移系」も参照。）
- αは (x, a, x')∈X×Σ×X の集まり。αに所属する3-組は遷移とか変換と呼ばれる。
- x∈Ai で (x, a, x')∈α のとき、a∈Σ-[Ai]
- x'∈Bj で (x, a, x')∈α のとき、a∈Σ+[Bj]
境界付きシステムは(A, B, X, Σ, α)という5つ組で表現される。境界付きシステムに関して、直和、直積、境界を介した結合（連結、貼り合わせ）を定義できる。このとき、境界対[A, B]に対しても、直和、直積、結合（[A, B];[B, C] = [A, C]）が定義できる。境界付きアルファベットに関しても、直和、直積、結合（連接）が定義できる。
そして、決定的に重要なことは、境界付きシステム α = (A+C, B+C, X, Σ, α)に対してトレース Trα が定義できることである。このトレースは関数や部分関数からエルゴットオートマトンを作る定義そのものなので、エルゴット・トレースと呼ぶことにする。
Trα = (A, B, X, Σ', α') となる。全状態空間は変わらない。境界はAとBに減少し、新しいアルファベットΣ'は、Σのクリーネスター（の制限版）となる。ΣからΣ'を求めることは行列計算で出来る。ここは、形式言語理論とオートマトンとの古典的対応を再現している。
入出力
境界概念は時間的境界、つまり始まりと終わりを定式化する。トレースは時間的な繰り返しの定式化だ。射はある一定時間で遂行される処理過程、変化の軌跡を表現する。
入出力やコミュニケーションの概念を入れるには、入出力用のアルファベットを別に準備する。いきなりコンパクト閉圏を作るには、アルファベットの極性（符号、荷電）を考える。荷電付き境界付きアルファベットから、境界付きシステムのアルファベットへの任意の写像がinoutマップとなる。これはセリンガーのin(x)とout(y)を一緒にした概念。アルファベットΔの正部分をΔ+、負部分をΔ-として、Δ+上でoutが定義され、Δ-上でinが定義される。
荷電（極性）は反転できるので、反転を使って双対構造を定義できる。コンパクト閉圏になるはずだ。コンパクト閉構造から定義されるトレース（圏論的トレース）は、時間方向のエルゴットトレースとはまったく別物。まだミステリアス。
練習問題：Mealy machine や Moore machine のエミュレーション
