伝搬現象と境界

昨日、絵描いた。が、なんだか曖昧で朦朧としたイメージで、うまく説明できない。

まず、僕が考えていることの多くは、空間になんかの量の分布があり、その分布の時間発展を追う形をしている。これを、空間的に分布された量の伝搬を追いかけると考えると、波や熱みたいな定式化になる。一方、伝搬の経路を個別に見ていくと質点の古典経路（軌道）の話になる。

多くのケースで、空間には、始境界、終境界という部分集合が指定されている。これは、多様体の意味の境界ではなくて、単なる部分集合だと考えたほうがいい。それで、始境界上で与えられた初期分布の伝搬、あるいは始境界から出発する古典軌道を追いかけることになる。そして、有限時間または無限時間後の終境界での値を求めることが課題。始境界、終境界以外の部分に与えられた場は、外部環境と考える。

絵を切り刻むの面倒だったから一枚。

これ、何の絵か？ 空間と始境界、終境界、それと古典軌道とか。曖昧模糊だけど。

形式言語理論のときは、始境界が一点で、終境界が広がった（広がってもいい）集合に取ることが多い。が、基本は、一点が一点にどう影響するか。一般的には、始境界も終境界も広がっていい集合。

実際にグリーン関数（伝搬関数、伝搬子、プロパゲータ）を計算するときは、状態空間または相空間全体に対して使える行列（作用素）を求めることが多い。これは、雰囲気としては、縦も横もS（空間の広がり）の正方行列Aとなる。一点xが一点yにどう影響するかを見たいなら、Aにxを台とするδ関数を入力してyでの値を計算する。逆に、「xからyへの影響」を全ての点で計算できればAが構成できる。

始境界Xから終境界Yへの影響を計算する行列は、正方行列に埋め込みと射影を組み合わせればいい。S行列＝無限時間後へのプロパゲータの計算は、正方行列でないとできないから全空間のグリーン関数は必要になる。

それでは、「境界を考えない全空間でのグリーン関数が基本なのか」というと、そうともいえない。U(t1, t0)の形のプロパゲータは、全空間と時間区間の直積を取った柱状領域で、始境界から終境界への伝搬を計算してることになるから。