写像からグラフまで

昨日風呂に入っていて思いついた。

今まで、グラフの圏を(0+1)-コボルディズムで考えていたわけで、Gの始境界、終境界は0次元だとしてきた。が、この制限ははずせる。境界も一般のグラフだとしても別に問題ない。

一般的に、A, Bがなんらかの図形（多様体、複体、グラフなど）として、写像f:A→B、関係R:A→Bがあると写像柱M(f)、関係柱M(R)を図形として作ることができる。AとBが離散点集合のとき、M(f)、M(R)は二部グラフである。ブール値の行列と言っても同じ。

これは、ι₀:A→M, ι₁:B→M という埋め込み対だを考えれば、単射余スパンである。M上で経路和が作れるなら、Mに対してA×Bの行列を対応させることができる。

単射の条件をはずすと、一般の余スパンとなる。が、再び写像柱構成を使えば、単射の条件を回復できるから、「境界付き図形←→余スパン」の対応があると思ってよい。

このような方法だと、グラフの境界をグラフにすることができるので、「コボルディズムのあいだのコボルディズム」のような繰り返しがいくらでもできる。キュービカルな高次圏論と繋がる気がする。