二項関手、偏関手、Cat偏豊饒化
はてな記法の関係(苦笑)で、丸括弧の代わりに適宜角括弧も使う。
F:C×C' → D が直積圏C×C'からDへの関手であることは、f:a→b, g:b→c in C； f':a'→b', g':b'→c' in C' だとして：
- F[(f f');(g, g')] = F[(f, f')];F[(g, g)]
- F[Id_(a, a')] = Id_(F[(a, a')]
書き換えると：
- F[(f;g, f';g')] = F[(f, f')];F[(g, g)]
- F[(Id_a, Id_a')] = Id_(F[(a, a')]
F[(f, f')]をf＊f'と二項演算で書くと：
- (f;g)＊(f';g') = (f＊f');(g＊g)
- Id_a＊Id_a' = Id_(a＊a')
となり、モノイド積の公理になる。
一方、Fが各変数ごとに関手であるとすると：
- F(f;f', g) = F(f, g);F(f', g)
- F(Id_a, g) = Id_F(a, g)
二項演算で書くと：
- (f;f')＊g = (f＊g);(f'＊g)
- (Id_a)＊g = Id_(a＊g)
あれれ、上は分配律だからいいとして、下の解釈はどうする？ 次元解析すると：
- Id_aはCの射、＊は射どうしの演算とすれば、(Id_a)＊g はDの射
- a＊gはId_a＊g と解釈すれば、自明な等式となる。
どうも、単位律は不要な気がする。変数ごとに関手になっている対応を偏関手と呼ぼう。
一般に、対象類Xがあって、a, b∈Xに、Cの小さい圏hom(a, b)が対応していて、次の状況があるとする。
- a∈Xに、関手Id_a:1→hom(a, a) が割り当てられている。
- a, b, c∈Xに、二項偏関手 comp_(a, b, c):hom(a, b)×hom(b, c)→hom(a, c)が割り当てられている。
これは、通常のCat豊饒化とは違うが、加法圏などの構成法と似ている。Cat偏豊饒化とでも呼んでおこう。(Id_a)＊g = Id_(a＊g)の意味を厳密に扱わないと一般化は難しそう。
