伝統的保守的な態度と超越機械
| = を超越機械による真偽判定だとすると、次に常識的なことが成立する。 |
- |= A または |=! A である。（|= の全域性）
- |= A かつ |=! A となることはない。（|=の二値一意性）
- |= A ならば、|=! ¬A である。（否定による反転）
- |= ¬A ならば、|=! A である。（否定による反転）
結局、|= は命題集合上の対合的二値付値ρを与える。対合は、実際は同値関係〜に対して対合（商集合上で対合）。その対合は不動点を持たない（＝対蹠）だとする。
超越的判断機構 |= （対合的二値付値ρ）を備えた命題集合（文集合）は超越的に（アプリオリに）存在すると信じる。
演繹系（システム）Sがあるとき、|-S がSの証明可能性（演繹可能性、導出可能性）だとして、
- Sが矛盾している :⇔ |-S A かつ |-S ¬A となるAがある。
超越的判断系〈transcendental judgement system〉は適切だ（神様は変なことはしない）として、Sが矛盾しているとする。Aが矛盾の証拠である論理式とする。
- Aが超越的に真のとき： (|- ¬A かつ |= A) なので、¬Aが、(|- X ならば |= X)の反例(|- X だが |= X ではないXの例)になっている。
- Aが超越的に偽のとき： (|- A かつ |=! A) なので、(|- X ならば |= X)の反例(|- X だが |= X ではないXの例)になっている。
したがって、矛盾した演繹系は、適切な超越的判断系に対しては健全ではありえない。
Pを文集合として、〜を同値関係、fを対蹠とする。fは同値関係と整合的で不動点を持たない。ρは同値関係と整合する二値付値。別な三値付値関数σが、
- σ(a) = σ(f(a)) となるaを持つ。
のとき、σ ≦ ρ とはなりえない。ただし、
- σ ≦ ρ :⇔ ∀p∈P.(σ(p) = 1 ⇒ ρ(p) = 1)
使う概念は：
