スキームなんて空気 -- という感覚に驚くオジジ
F1に関連して、アルベルト・ヴェッザニ（Alberto Vezzani）という人が、デイトマー（Deitmar）とトゥエン／ヴェキ（Toen-Vaquie）のスキーム論を比較して解説している。チラリと眺めた。
これらの人々はみんな若いのだと思う。その感覚にオジジ（僕＝檜山）は驚いてしまう。彼らにとって、スキームなんて空気のようなもので、たぶんあえて意識したりしないのだろう。トゥエン／ヴェキ流（ヴェッザニが脚色しているかも）のアフィンスキームの定義はなんと：
- Ringを可換環の圏だとして、Ringopをアフィンスキームの圏と呼ぶ。
これだけ！ すごい割り切りようだ。前層の定義は、もちろん [Cop, Set]である（これはそうビックリはしないが）。
一方で、素朴集合論と点概念を平気で使ったりする。エタールと同じような開はめ込み（open immersion）という概念があるのだが、その定義は素朴で：
- U⊆X が開集合のとき、U→X を開包含（open inclusion）と呼ぶ。
- YがUと同型で、具体的な同型 i:Y→U が与えられている。
- iと開包含の結合を開はめ込みと呼ぶ。
開はめ込みの族 (iα | α∈Λ) がザリスキー被覆だとは、単に「Σ(iα | α∈Λ) → X が全射」というだけである。で、幾何学的な背景とは、ザリスキー被覆の全体が圏のグロタンディーク前位相を定義するんだ、という主張でほぼ尽きている。技巧的なことはせずに、単純な定義を採用して、とにかくアッサリしている。そのアッッサリさに驚いてしまうのですよ。
さて、トゥエン／ヴェキ流のスキーム論だが： Abをアーベル群の圏として、適当な圏C上の可換モノイドの圏をCMon(C) と書けば、Ring = CMon(Ab) となる。アフィンスキームの圏は、Ringop = [CMon(Ab)]op なので、Abを任意の（ただし都合がいい）圏Cにしてしまえば、[CMon(C)]op がCベースのアフィンスキームの圏。アフィンスキームの張り合わせが一般のスキームとなる。Cは動かしていいので、Cごとにスキーム論ができることになる。
それと、加群のテンソル積の定義もアッサリ。当たり前だといえば、まーそうなんだが、対称モノイド圏のなかで、Aはモノイドで、(M, φ:M×A→M) が右A加群、(N, ψ:A×N→N) が左A加群のとき、M×ψ, φ×N : M×A×N→M×N が定義できるので、これの等値核としてテンソル積を定義する。バンドリング構造とヤン・バクスター方程式があれば、非対称なモノイド圏でも定義できる可能性がある。テンソル積がいつでも定義できる必要はない。
