strict globular categoryは簡単そう

昨日と少し記法を変える。0≦i＜k だとして、

• d_-^i←kをdom^k_i
• d₊^i←kをcod^k_i
• s^k←iをidⁱ_k

要するに、上から下に向かう矢印があると思えばいい。で、反射的球集合（reflexive globular set）を考える。Cが反射的球集合だとして、そのk次元部分をC^kと上付き添字で示す。

x, y∈Cⁱだとして、(k, i)-ホムセット（とりあえず構造は入れない）C^k_i(x, y) は次のように定義する。

• f∈C^k_i(x, y) ⇔ (f∈C^k, dom^k_i(f) = x, cod^k_i(f) = y)

次元が付いている以外は、1-圏とまったく同じ。単位は既にidⁱ_kとして定義している。x∈Cⁱのとき、反射的球関係式（reflexive globular relations）から、idⁱ_k(x)∈C^k_i(x, x) なのがわかる。

結合は、隣接するホムセットの間で定義できる。

• -[^k_i]- :C^k_i(x, y)×C^k_i(y, z) → C^k_i(x, z)

例えば左単位律は、idⁱ_k(x)[^k_i]f = f と普通に記述できる。結合律も同様。

それ以外に、境界の条件と交替律が必要だ（それだけでいいのか？）、dom^k_k-1は単にdom^k、またはdom（codも同じ）、id^k_k+1を単にid_k、またはidと略記することにする。

まずは境界に関する条件：

• dom(f[^k_i]g) = dom(f)[^k-1_i]dom(g)
• cod(f[^k_i]g) = cod(f)[^k-1_i]cod(g)

結合の交替律は：

• (f[^k_i]g)[^k_j](f'[^k_i]g') = (f[^k_j]g)[^k_i](f'[^k_j]g')

と、けっこう見やすい。恒等に対する交替律は：

• id(f[^k_i]g) = id(f)[^k+1_i]id(g)

まー、上下の添字がめんどくさいのではあるが、等式なので、別に問題なく計算できる。やっぱり、strictケースなら、さほど難しくはないな。

[追記]iセルで隣接したkセルの結合を f[n;i]g と書くと添字がなくなっていいかもね。手書きのときは□とかを使って、横か中にn, iを書けばいいだろう。[/追記]