モノイド従順多圏、コア圏、計算 - (保存用) 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編

Oが基本対象の集合として、Pは、O^*にdom/codを持つ多射からなる多圏とする。多射の合成は2種類あり、f: Γ ⇒ Δ,Δ' と g:Δ',Ψ ⇒ Φ に対する f[;_Δ']g と、 f:Γ ⇒ Δ',Δ と g:Ψ,Δ' ⇒ Φ に対する f[_Δ';]g の2種。適当な公理は満たす。

それとは別に、並置によるモノイド構造を持ち、厳密な単位律と厳密な結合律が成立する。さらに、コア圏には普通のアクチュアルなモノイド構造と右指数(o--)、左指数(--o)があるとする。Pのコア圏はCとする。

このとき、コア圏のn個の直積Cⁿを多圏Pに自然に埋め込める。単に平行に並べると考えればよい。C⁰は単元圏（非空な自明圏）だが、これは空列εからなる部分多圏にマップされる。結果的に、CのクリーネスターがP内に全部埋め込める。

Pにn-タプリングとn-アンタプリング（デタプリング）があれば、それを使ってT:P→Cという写像を作れる。

空 |→ I（モノイド単位）
A |→ A
A₁,...,A_n |→ A₁×...×A_n
f:A₁,...,A_n → B₁,...,B_nに対して、τ_A1,...,An;f;ν_B1,...,Bm。

τ（タウ）とν（ニュー）は、多圏におけるタプリングとアンタプリング操作（多射である）。

このような操作をもっと丁寧に定義すれば、多圏Pを圏とみなして（それはやろうと思えばできる）関手T:P→Cが作れる。これはレトラクトになっている。

PとCの関係は「式と値」と同じだ。Pは還元可能だから「式」、Cはそれ以上還元できないから「値」。式の還元のタイミングはいつでもよい。Pの多対象、多射をレトラクトでCにマップすることが計算的意味論を与えていると思える。単に計算を遂行するにはPのほうがずっと便利だ。PはコアCのハロ（halo）だと思うといいだろう。ハロ多圏だな。

ちなみに、多圏と圏の関係を考えるときに、Turaevゲームのムービーやスチルの考え方が使える。