圏の骨格は圏にならないが、グラフにはなること

骨格か本質か - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編

射に対しても同型を定義すれば、骨格に圏の構造を与えられそうだ（これは要確認）。

これはウソだが、骨格はグラフ構造を持つ。以下に述べる。

記号≡と〜を使い分ける。idを対象と同じ記号で略記することあり。

• X≡Y :⇔ ∃f:X→Y, g:Y→X.(f;g = X, g;f = Y)
• (f:X→Y)〜(f':X'→Y') :⇔ ∃i:X→X', j:Y→Y'(i, jはiso, i;f';j = f)

1. f〜f' ⇒ dom(f)≡dom(f')
2. f〜f' ⇒ cod(f)≡cod(f')
3. X〜X' ⇒ id_X〜id_X'

(f:X→Y)〜(f':X'→Y') なら、isoなi:X→X', j:Y→Y'があるのだから、X≡X' かつ Y≡Y'。

X〜X'を与えるisoを i:X→X'、その逆をj:X'→X とすると、id_X = i;j = i;id_X';j、よって id_X = i;j = i;id_X'。

一般的には結合をうまく定義する方法がない。しかし、グラフにはなる。このグラフはいったい何だろう？ 正体が分からない？？ ちょっと不気味な存在。