フォックスの定理

直前のエントリーは、次を読んで思ったことだ。

• Bob Coecke, Dusko Pavlovic "Quantum measurements without sums" http://arxiv.org/abs/quant-ph/0608035

このなかに、フォックス（Fox）の定理というのが出てくるのだが、なかなかに凄まじい。概要を以下に書いておく。

Qが対称モノイド圏とする。Qと書いたのは気持ちとしては量子圏とか線形圏とか、線形論理が幅をきかすような圏。Qの内部コモノイドの全体をK(Q)とする。Kは「古典」のつもり。「コモノイド＝デカルト構造＝古典構造」という感じだ。K(Q)はQから作っているので、下部構造にQの対象・射を持つ。よって、忘却関手U:K(Q)→Qがある。

Cがデカルト圏だとして、対称モノイド圏Qへのモノイド積を保つ関手F:C→Qを考える。Qは固定して、C, Fを動かす。F:C→QとG:D→Qの間の射を、デカルト関手Φ:C→DでF, Gと可換になるものだとする。こうやって作った圏をClassic(Q)とする。Q上で実現できる古典世界の全体がClassic(Q)だ。忘却関手U:K(Q)→QはClassic(Q)に入るが、Uは終対象であることがフォックスの定理。U:K(Q)→Qは、ある意味で最大の古典世界で、他の古典世界を含んでいるほどに豊かだと思ってよい。

古典対象は、Qに棲んでいるのではなくて、実際はK(Q)内にいる。以下、k(Q)をKと書くとして、X∈Kごとに、Q上のコモナドと余Kleisli圏ができる。すべての余Klesili圏をたばねたものが世界の表現なのかもしれない。もっとも、この発想は操作的でご都合主義だから、世界の実相に迫れるとは思えないが、まー、計算には便利。

古典対象を、{0, 1}ⁿ に限っただけでも面白いと思う。ビットの古典世界の“量子化”になる -- ここでいう量子化は普通の意味じゃなくて、測定値を古典的集合Xにしたときに、古典集合Xを通して見える量子的世界を考えることだ。量子計算は、この枠組みでもいいような気がする。