具象表現とな何か

普通、具象圏というと、Setの部分圏とかSetへの忘却関手を持つ圏だが、少し別な味方をしてみる。

まず、Set、Ord、Vect、ΩΟのような具象的だと思える圏を選んで、それをVと置く。このVは普通の意味で具象的、つまり集合論的だとする。それで、Cが具象的だとは、Vへの表現を（なにか、1つでも）持つときだとする。CがV-enrichedなら、V具象的となる。なぜなら、主表現があるからだ。

A∈|C|に対して、V表現であるR^A:C→Vと、反変のR_A:C→Vを定義しよう（主表現）。添字の上下が普通と逆だが、後で事情がわかるはず。X∈|C|に対して、R^A(X) = C(A, X) だが、C(A, X)∈|V|。f:X→Yに対して、fのpost-composeにより R^A(f):R^A(X)→R^A(Y) in V を定義する。これでAによる共変主表現ができた。反変ケースR_Aも同様。

特定のAに対する（共変／反変）主表現を「きつい（tight）表現」と呼ぼう。Aを動かして考えるときは「ゆるい（loose）表現」。以下、ゆるい表現を構成する。まず、A |→ R^Aは、C^op→[C, V] を定義する。[C, V]は、CからVへの関手圏（射は自然変換）である。なぜなら、k:A→Bがあったとき、R^B→R^Aという表現間の変換κ:: R^B⇒R^A が定義できる。

κを具体的に記述すれば：
κ_X : C(B, X)→C(A, X) ; g |→ k;g in V

このκをR^kと書くと、R^k:: R^B⇒R^A； つまり、R^*は、対象→関手、射→自然変換の反変対応となる。R^*:C→[C^op, V] が、ゆるい反変表現となる。一点AにおけるR^*の“値”がきつい共変表現となる。[C^op, V]は、“C上のV層”だから、ゆるい表現はV層への埋め込みになっている（埋め込みであることは米田補題から）。

基礎項を使った反変表現がきつい反変表現（の典型例）を提供するから、基礎項を非基礎項まで拡張して、全部一緒に考えると、ゆるい共変表現＝（余）層表現が得られるだろう。

以上の事実（たぶん事実）を、構文論と意味論の構成に利用したいのだけど、なんかヒッカカリがあるんだよな、なんだろう？