行列のトレースの性質をやっと納得

カウフマンの"Knots"（http://citeseer.ist.psu.edu/497874.html）のfigure38を見てやっと納得した。

f:1×X→1×Xに対して、tr(f) = Tr^X_1,1(f)と定義すると、自己射の全トレースが定義できる。tr(f)の値はいわゆるスカラー射（1→1のこと）になる。id_Xの全トレースは（圏論的）次元（categorical dimension）というやつだ。

tr(f;g) = tr(g;f) は、行列のトレースで出会うが、これは全然わからなかったな。計算しても納得いかなかった。f;g = Tr[(f×g);σ] を使うとわかる。詳細はともかくとして：

    tr(f;g)

  = tr(Tr[(f×g);σ])

  = Tr(Tr[(f×g);σ]) // バニッシングを使って

  = Tr[(f×g);σ] // ×の対称性

  = Tr[(g×f);σ] 

  = Tr(g;f)

  = tr(g;f)

絵算を使うと明白。tr(f;g) = tr[(f×g);σ]だから、コンパクト閉圏では、η;(f×g);ε と書けるのじゃないのかな？（η';(f×g*);εでした。） だとすると、tr(f;g)ってのは、fとgから作ったサークルだな。サークルはスカラーになるのか？ だとすると、カウフマンブラケットやテンパリー／リーブ代数でサークルがスカラー乗法になるのが少しは説明できるかも。スケイン関係式はそれでも謎だが。