多少は進化したかもしれない

XMLの形式言語理論は、トレース付きデカルト圏でやればいいのだ、と今では確信している。一時期（2001年くらいかな？）半年くらいも、Tr(f)とTr(g)の結合Tr(f);Tr(g)の明示公式（具体的な計算方法）が見つからなくて悩んでいたが、次で解決されている。

• http://www.chimaira.org/docs/CompositionInTMC.htm
• http://www.chimaira.org/docs/TraceAndProductComposition.htm

構文的モジュールは、その定義射f:A+X→B+XのトレースTr^X(f):A→Bとして書ける。モジュールのモノイド積（テンソル積）と結合は次で与えられる。

• Tr^X_A,B(f)+Tr^Y_C,D(g) ≒ Tr^X+Y_A+C,B+D[(A+σ_C,X+Y);(f+g);(B+σ_X,D+Y)]
• (Tr^X_A,B(f));(Tr^Y_B,C(g)) ≒ Tr^B+X+Y_A,C[(A+σ_B,X+Y);(f+g);(σ_B+X,C+Y)]

圏が、厳密モノイダルであり可換（対称性も厳密）なら；

• (Tr^X_A,B(f));(Tr^Y_B,C(g)) = Tr^B+X+Y_A,C[(A+B+X+Y);f+g;(C+B+X+Y)]

簡略に書けば Tr^X(f);Tr^Y(g) = Tr^B+X+Y(f+g)。

ただし実際には、可換厳密モノイド圏というよりは、可換厳密部分モノイド圏で考えていた -- 直交性（無共分性）X⊥Yがあり、X⊥Yのときに限ってX+Yが定義できる。

必要なら、トレースの代わりにコンウェイ（Conway）不動点作用素＝μ記法を使って公式を書き下すこともできる。

※ 「XMLに戻ろう」も参照。