アーベル群の周辺：事例

可換群の例（扱う）

1. Zの足し算
2. R², R³の足し算
3. Zの剰余類（余りを使った同値類）の可換群
4. 平面の原点中心回転群 O(2)（実はRで2πの余りを使った剰余類の群）

非可換群の例（参考まで）

1. 対称（置換）群 S(3) でも十分。S(3)は6元。アミダ表現
2. 行列群 SL(2), SO(2), SL(2, Z), 2次元ローレンツ変換群
3. 2×2の上三角行列、3次元ユークリッド空間に入る。
4. 2×2の上三角行列で行列式が1、2次元ユークリッド空間に入る。
5. 1次元アフィン変換群
6. 1次元アフィン変換の2×2行列表現
7. 2元生成の自由群 極度に非可換
8. 1次分数変換（メビウス変換） f(z) = (az + b)/(cz + d)
9. ブレイド群、対称ブレイド群＝対称群

準同型写像の例

1. 商群への射影、剰余類の群（剰余群＝商群）
2. 線形写像、スカラー乗法抜きで
3. Zのk倍写像
4. 整数の偶奇性からパリティ±1へ
5. 行列式
6. 置換の符号（偶置換と奇置換）
7. 指数、特に複素指数
8. 複素指数の虚軸部分は、直線の複素単位円への写像（整数剰余群との類似）
9. 平面からトーラスへの射影、核は格子加法群
10. 平面格子点からトーラス格子点へ
11. 置換群の線形表現 S(3)の2×2行列表現、120度右回転, 120度左回転, x軸対称、±120度線の対称
12. S(2)の表現, {1, -1}へ
13. 生成元と関係の行列表現、x軸対称、y軸対称、{X, Y, S}

上の例と重複あるが、行列群の範囲では：

1. 全行列群 GL(n)
2. SL(n)
3. O(n), SO(n)
4. 上（or 下）三角行列群
5. 対角行列群
6. スカラー行列群
7. アフィン変換の表現行列群
8. アフィン変換のなかの並進群 [1, a;0 1]