集合の記法と対応する論理式

論理記号は、∧、∨、¬、⇒、∀、∃。古典論理なら、⇒は∨と¬で書けるし、∧と∨のどっちか一方、∀と∃もどっちか一方で済む。が、論理記号を減らしも嬉しくないので全部使う。制限全称 ∀x∈a.P は、∀x.(x∈a ⇒ P) と展開できる。∃x∈a.P は ∃x.(x∈a∧P)。

1. a⊆b :≡ ∀x.[x∈a ⇒ x∈b]
2. a = b :≡ a⊆b ∧ b⊆a
3. a = φ :≡ ∀x.(¬ x∈a)
4. a = {b} :≡ ∃x.x∈a ∧ ∀x.(x∈a ⇒ x = b)
5. a = {b, c} :≡ ∃x.x∈a ∧ ∀x.(x∈a ⇒ (x = b ∨ x = c))
6. a = b∩b :≡ ∀x.(x∈a ⇔ (x∈b ∧ x∈c))
7. f:a→b :≡ f⊆a×b ∧ ∀x∈a.∃y∈b.[(x, y)∈f] ∧ ∀x∈a.[( (x, y)∈f ∧ (x, z)∈f ) ⇒ y = z]