このブログは、旧・はてなダイアリー「檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編」（http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama-memo/）のデータを移行・保存したものであり、今後（2019年1月以降）更新の予定はありません。

今後の更新は、新しいブログ http://m-hiyama-memo.hatenablog.com/ で行います。

コンピュータッドとか雑多に色々考えてみる、ほんと雑多

高次圏論 用語法 言葉 globular セオリー論

コンピュータッドは、言い換えれば多グラフだが、「形容詞「複」「多」と箙〈えびら〉 - 檜山正幸のキマイラ飼育記」に従えば、高次多箙（higher polyquiver）のことだ。1-quiver＝普通の有向グラフのときと同じに、生成形から自由生成できる。

高次多箙の生成系を高次多指標（higher polysignature）と呼ぶ。指標と生成系はまー同じだ。「生成元」と「関係」の区別はない。関係もまた生成系の一部だからだ。

高次ではない、通常＝1次元の多指標は、f:A, B→C, D のような多プロファイルからなる。多プロファイルは、n-in m-outの記号のことで、図形的には二部カローラ、またはスパイダーを定義する。双対的に二部多角形と言ってもいい。

多プロファイルで問題となるのはカンマの解釈で、1次元低いセルの列になる。カンマ区切り列の概念が使えるのは1次元だけで、2次元以上ではカンマ区切り列では済まない。そもそも、1次元のときは、カンマをモノイド積と解釈しているわけで、ほんとは既に2次元（対象が1次元）になっている。

「構文論 vs. 意味論」の枠組で言えば、コンピュータッド＝高次多箙は構文的対象（syntactic object）だ。別に意味的対象（semantic object）の集まりが必要。意味的対象を広義の代数系だとすると、解釈／意味割当て（semantical assignment）はコンピュータッド＝高次多箙から代数系の圏への関手と捉えるのが良い。

セマンティクスを意味割当て関手（semantical functor）のことだとすると、セマンティクスは、幾何的圏から代数的圏へのgeom-to-alg関手となる。

問題がいくつかある。

  1. 高次多指標から自由高次多圏をどのように作るか。
  2. 高次多指標のあいだの指標射はどう定義するか。
  3. 忘却と自由生成の随伴性をどう定式化するか。
  4. 意味領域である代数的高次圏をどう構成・定義するか。
  5. 高次多関手と高次多自然変換、あるいはtransforをどう定義するか。

「構文論 vs. 意味論」のフレームワークだと、構文領域の存在物になんか呼び名が必要だ。

  • term, expression, formula, proposition

とかだが、ここではpresentation（表示、プレゼンテーション）とする。表示だとdenotation（意味領域側）と間違えると困るからプレゼンテーションにする。

プレゼンテーション＝構文領域の物（stuff）＝高次多指標から生成されたモノ＝自由高次多圏の高次多射＝高次多箙。「高次多の世界」だと、モノとモノが所属する環境の区別が難しい。後で整理しよう。

意味的なモノに対して、そのプレゼンテーション（表示、表現）が一意に決まるわけではない。これは、小学校の分数のプレゼンテーション（N×N）のときから経験している。プレゼンテーションの集合が同一の意味的モノを指す、という保証が欲しい。

  • ある条件のプレゼンテーションの集合は、すべて同一のモノをさす。
  • 何らかの定義や操作が、プレゼンテーションに依存しないで決まる。

こういう事実をプレゼンテーション非依存性と言っていいだろう。プレゼンテーション非依存性は、圏論的一貫性だと解釈できる。


  1. 射がidであることは、→の上にidと書く。上に書けないなら、→idか。
  2. 射がisoであることは、→の上にisoと書く。上に書けないなら、→isoか。
  3. isoの代わりにinv（invertible）のほうがいいかな。→inv。
  4. 射の形式次元（あるいはグレイド次元； プレゼンテーションの幾何的次元ではない！）は、矢印の太さで表す。困難なときは、→(n)とか (n)→ とか。
  5. A→idB ⇔ A = B
  6. A→invB ⇔ A \stackrel{\sim}{=} B


  1. fとgが共端なことを f//g と書く。英語なら平行だから。
  2. fとgが隣接（むしろ余隣接か）のとき、f▷g と書く。
  3. 共端なa, bの類似性（resemblance, similarity）を、厳密類似、強類似（緊類似）、緩類似に分けて、strict, strong(tight), lax and/or colax と形容する。
  4. 厳密類似、強類似、緩類似はそれぞれ、∃ A→idB、∃ A→invB、∃ A→B、∃ A←B。
  5. nセルの類似性は、(n + 1)セルによって与えられる。つまり、類似性の特性（強さ、程度）を持つスーパーセルの存在が類似性の定義となる。
  6. スーパーセルはコボルディズムに他ならない。
  7. 類似性＝スーパーセル＝コボルディズムなので、基本類似性の組合せで新しい複合類似性を示すことが証明になる。
  8. 証明の構成＝より基本的な類似の組合せを作ること
  9. 証明の変形は、証明オブジェクト＝類似性証明を示すセルのスーパーセルになる。
  10. 証明の変形の組合せはメタ証明となり、メタ理論が構成できる。
  11. スーパー＝メタ＝1つ高次 への上昇は無限に繰り返し可能である。
  12. operation（計算）、associator（計算の法則）、pentagonator（計算の法則の法則）などの階層がある。いつかは「ほんとの等しさ（identity, identical）」になるとする。
  13. 高次化を食い止める手段に含意がある。
  14. TQFT（TFT）は、geom-to-alg関手だから、意味割当て関手だと解釈できる。geom圏がnCobだから、プレゼンテーションとしては胞体分割構造を入れた圏を考えるといいのだろう。disjoin sum, gluingも胞体分割構造をそのまま使える。
  15. TQFT（TFT）におけるプレゼンテーション非依存性は、関手値計算方法（アルゴリズム）の胞体分割非依存性となる。


  1. セルのプレゼンテーションとしては、空間的図形以外に、時間方向の遷移がある。move, rewrite, transition, deformationなどと言う。deformationは連続時間に沿った変形の雰囲気がある。他は、離散時間。
  2. 生成元、セル、遷移は同じことだが、いずれの基本と複合がある。基本：atomic, simple, basic, base, primitive, generating、複合：composite, complex, compound, procedual, marco
  3. 時間は一方向（一次元）しかないので、最後の次元にだけ時間を使える。一度時間を使っても、それを空間化しておかないと、次の次元に時間を使えない。時間の空間化を映画撮影（filming, filmmaking）を呼ぶ。
  4. 箙の全台空間は、方向を持つ。方向はorientationと似てるが違う。局所順序構造がだが、局所順序構造が固定されているわけでもない。正確な定義は難しい。
  5. 閉円板と同相で、境界が1-コンピュータッドになっている多角形をB多角形と呼ぶことにする。bipartite bident-directed boundaryとBが続くから。境界（周囲）が始境界と終境界に二分されるから、始境界側にn辺、終境界側にm辺なら、(n, m)-B多角形と書ける。

Globularなどを使うと生じる疑問：

  1. 描画と証明の関係（なぜ、描画が証明なのか）
  2. 構文論と意味論の関係（どれが構文なのか、意味とは何なのか）
  3. 同値と一貫性（同じとか等しいとか同値とかの言葉の解釈）

三番目はequal, identical, same, equivalentなどの違いに関する疑問。