オーバーバー記法はトンデモナイ - (保存用) 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編

[過去に書いたものだが] 頭痛がする統計用語・記法のシリーズ、延々と。

$\bar{x} = \frac{1}{n}(x_1 + \,\ldots\, + x_n)$
$\bar{X} = \frac{1}{n}(X_1 + \,\ldots\, + X_n)$

大文字小文字の違いなので、この記法はよく使われる。ところが、一見類似性があるが、これはトンデモナイ記法で、まったくの別物。

小文字の $\bar{x}$ は、 $x = (x_1\,\ldots\, x_n)$ というタプルを考えれば、タプル変数xに対する関数を、一種の演算子記号（オーバーバー）で表したものと解釈できる。

$\bar{X}$ の解釈は面倒くさくて難しい。しかも流儀が少なくとも3つはある。

大文字Xはスカラー値確率変数とする。 $\bar{X}$ は、確率変数Xから別な確率変数を作る複雑な仕掛け（統計変換）を表すとする。
大文字Xはベクトル値確率変数とする。 $\bar{X}$ は、ベクトル確率変数Xを単に平均値関数に代入（実際は関数結合）したことを表す。
大文字Xは、スカラー値確率変数とベクトル値確率変数のどちらも表す。記号のオーバーロードであり、文脈ごとに解釈を変える。

さらには、確率変数XとR上の単なる変数xを混同するという悪しき習慣も併用するのだから、もう気違い沙汰だ。まっとうな理解は極めて困難。天下りの暗記か思考停止か、あるいは挫折。

大文字Xはスカラー値確率変数

確率変数Xに対して、可測空間の圏でテンソルベキを考えて、それを $X^{\otimes n}: \Omega^n \rightarrow \mathbf{R}^{n}$ とする。 $X_{(n)} \,:= X^{\otimes n}$ と定義する。X_(n):Ωⁿ→Rⁿ というベクトル確率変数ができる。このX_(n)はスカラー確率変数Xから作ったもの。

i = 1, ..., n に対して、X_i = X_(n);π_i とする。ここで、π_iは、Rⁿ→R という射影のi番目のもの。X_i を使うと、

X_(n) = (X₁, ..., X_n)

という書き方ができる。X_(n)はXから作られたものだが、XとX_(n)は別物！

下付きの(n)は、X|→X_(n) という対応に対する演算子記号と考えることができる。mean(x) = mean((x₁, ..., x_n)) = mean(x₁, ..., x_n) として、

$\bar{X} \,:= mean(X_{(n)}) = mean \,\circ\, X_{(n)} \,:\, \Omega \rightarrow \mathbf{R}$

となる。

ここでは、スカラー確率変数はX、それから作られたベクトル確率変数はX_(n)、射影を取ったスカラー確率変数はX_iとして区別してる。オーバーバーには、mean(X_(n)) という解釈を与える。

大文字Xはベクトル値確率変数

X_i達は、n個のスカラー確率変数として、ベクトル確率変数Xを、X = (X₁, ..., X_n) として定義する。この場合は、オーバーバーは、meanの演算子記号だと思ってよい。

Xはベクトル確率変数なので、スカラー確率変数としてはX₁を使う。

オーバーロード

スカラー確率変数としてのXと、ベクトル確率変数としてのXをオーバーロードする。最も分かりにくいが最も使われているかも知れない。さらに、確率変数XとR上の単なる変数xを混同するという悪しき習慣も併用されると、ほとんどワケワカメ。伝統とは言え酷すぎる。