タオのトレース可換環の表現論 (6) 仕切り直し

スペクトル半径ρ(a)とユークリッドノルム|a|, |x|に関する不等式 |ax| ≦ ρ(a)|x| を代数的に示すのは無理なような気がしてきた。タオも、別な所ではスペクトル理論をヘビーに使って示している。示す順番が違うと思う。つまり、スペクトル理論を入れてから分かることのような気がする。

まず代数的なセッティング、実係数から複素係数にする。

• Aは複素ベクトル空間である。
• Aは可換な乗法と単位元を持つ。
• Aはスター対合を持ち、スター環である。
• τは複素線形である。
• τ(1) = 1
• τ(xx^*) ≧ 0

以上の初期設定で、Aの自己随伴元（自己共役元）の全体が部分ベクトル空間となり、実係数ベクトル空間とみなせることを示す。スペクトル半径 ρ(x) が定義できる元を、スペクトル有界元と呼ぶ。

• スペクトル有界な元の全体が部分環となることを示す。
• 自己随伴スペクトル有界な元の全体が部分環となることを示す。
• 形式計算（形式ベキ級数の計算）を使って、カール・ノイマンの級数を構成して、その形式ベキ級数が収束することを示す。
• スペクトル測度を定義して、スペクトル理論を展開可能にする。
• スペクトル理論を使って、|ax| ≦ ρ(a)|x| を示す。