タオのトレース可換環の表現論 (5) プレトレース

トレースの条件から有界性を除いたものをプレトレースと呼ぶことにする。可換とは限らないスター環なら、

1. [線形性] τは線形形式である。
2. [正半定値性] τ(x・x^*)≧ 0

スターを持たない可換環なら、

• [正半定値性] τ(xx)≧ 0

実係数のプレトレース可換環があると、p = 2, 4, 8, 16, ... に関してp-ノルム |x|_pを定義できる。

プレトレース可換環のなかで、|x|₂ ≦ |x|₄ ≦ |x|₈ ≦ ... は示せる。だが、有界性は出てこないので公理を追加するしかない。有界性の公理を追加するとトレース可換環となる。

トレース可換環では、|x|₂ ≦ |x|₄ ≦ |x|₈ ≦ ... ≦ |x|_2^∞ として特徴付けられる 2^∞ノルム＝スペクトル半径が定義できる。スペクトル半径をノルムとする可換ノルム環が構成できることが、[pノルム有界性]の恩恵。