タオのトレース可換環の表現論 (2)

トレースの公理で、p = 2, 4, 8, 16, ... と2のベキ乗だけを考えて、「τ(f^p)^1/p が有界である」だけでいいようだ。|f|_p := τ(f^p)^1/p としてpノルム（pは2のベキ）を定義して、次の変形ヘルダーの不等式を示す。

• |fg|_p ≦ |f|_2p|g|_2p

これのベースとなるのがコーシー・シュワルツ不等式

• |τ(fg)| ≦ |f|₂|g|₂

p = 2 を最初に示して、後は帰納ステップ。

ヘルダーの不等式から、コーシー・シュワルツ不等式の一般化も得られる。

• |τ(f₁...f_p)| ≦ |f₁|_p...|f_pg|_p

pは相変わらず2のベキ。

同じfに対して、|f|₂ ≦ |f|₄ ≦ |f|₈ ... も示せるが、そのベースとなるのは、

• |τ(f)| ≦ |f|₂

fのところにf²を入れると、

• τ(f²) ≦ |f²|₂ = τ(f⁴)^1/2

左右の平方根を取ると、

• τ(f²)^1/2 ≦ τ(f⁴)^1/4

x

≦ ρ(x) は定義からわかるから、ρ(x) = 0 ⇒

x

= 0 。だが、この逆

x

= 0 ⇒ ρ(x) = 0 が分からない。何か見落としているのか？