このブログは、旧・はてなダイアリー「檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編」（http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama-memo/）のデータを移行・保存したものであり、今後（2019年1月以降）更新の予定はありません。

今後の更新は、新しいブログ http://m-hiyama-memo.hatenablog.com/ で行います。

タオのトレース可換環の表現論

その他代数

超天才テレンス・タオはやっぱり常人とは違うな。

「オリジナリティはなくて、より一般的な構成の特殊な場合にすぎない」とか書いてあるが、これは凄い。ストーリー展開が見事すぎる。計算がちゃんと追えないのが悔しい。

トレース可換実代数（tracial commutative real algebras）の表現論。可換バナッハ環の表現なら、古典的なゲルファンド（ゲルファント）表現があるが、それよりずっと精密。

  • 実ベクトル空間に可換環構造、トレース(期待値積分)だけを仮定する。
  • スペクトル半径の有界性以外は純代数的で、前提が非常に少ない。
  • それにも関わらず、ヒルベルト空間、可換バナッハ環、σ代数、位相空間などを構成している。
  • オペランドのベクトル空間としてのヒルベルト空間と、オペレーターの環を別に構成している。
  • オペレーターの環にはオペレーターノルムを入れている。ノルムをスペクトル半径で入れる。
  • オペレーターは自己双対有界作用になっている。
  • 可換環のベキ等元の全体にブール代数構造を入れている。
  • スペクトル理論を使ってベキ等元が豊富にあることを示している。
  • ブール代数のストーン表現を使ってコンパクト空間（ブール／ストーン空間）を作っている。
  • ベキ等元の全体の表現と、可換バナッハ環の表現が一致することを示している。
  • ブール代数の極大イデアルが、可換バナッハ環でも極大イデアルになっている。
  • 得られたブール／ストーン空間を台集合として、ベキ等元ブール代数からσ代数を構成している。
  • 最後にトレースから測度を構成している。

オペランドのヒルベルト空間とオペランドの代数を別々に定義するところ、ブール代数の表現を利用してコンパクトな台空間を作るあたりが実にスマートだ。

ストーン表現に関する規則知識は：

スペクトル理論がよく分かってない。

次の記事はスペクトルに関するリンク集になっている。

ラドン測度も使っている。

トレースと不等式の扱いに慣れるには次を読むのがいいかも。