記号法と意味論

まだまだ続く、伝統的・慣習的記法の解釈。

可測空間を固定して、その上の測度全体の空間を考える。測度の和とスカラー倍は考えられるので、測度全体の空間はベクトル空間にはなる。が、位相や収束は難しい。測度全体の空間の部分集合に適当な位相とその他の構造（アフィン構造が典型）を入れたものをAとしてアンビエント空間（分布の空間と考えてよい）と呼ぶ。

M⊆A をモデル空間（モデル多様体）とする。モデル空間M自体の性質は特に要求しないで、とりあえずアンビエント空間の部分集合とだけ規定される。

Θを有限次元ユークリッド空間の部分集合として、Mは位相も込めてΘと同型であるとき、パラメトリックモデル空間と呼ぶ。θ:M→Θ、f:Θ→M として、θ;f = id_M、f;θ = id_Θ。記号θは、M上の座標関数の意味と、単なる変数 θ:Θ の意味でオーバーロードされる。fも同様で、Mの要素の意味でも使う。また、f(θ) = f_θ と書かれる。定義より、θ(f_θ) = θ というワケワカラン等式が成立するが：

• θ(f_θ) = θ の左辺外側のθは座標関数
• θ(f_θ) = θ の左辺内側と右辺のθは集合Θを走る変数
• ラウンドトリップ性を表す。
• 同様に、f_θ(f) = f

関数の結合（合成）と関数と値の適用は区別されないので、文脈で区別するしかない。また、一部の変数はラムダ変数の意味で使われる（f(x) := λx:X.f(x)）がこれも明示されない。一部の変数は、恒等射や射影の意味で使われることもある。汎関数への引数はブラケットのことがある、例： E[φ(X)] 。