f(X), f(x) の合理的解釈

慣用句、慣用記法の解釈 その2 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 で出した f(X), f(x) は、合理的な解釈が可能だと気がついた。

• f_i:A→B_i のデカルトタプルを <f₁, ..., f_n> と書く。
• 写像の結合（合成）をセミコロンの図式順
• 射影 π_{B1, ..., Bn}ⁱ をπⁱ と略記。

すると、

• f:Rⁿ→R に対して、<X₁, ..., X_n>;f は確率変数。
• <π¹, ..., πⁱ>;f = f

さらに、

• <f₁, ..., f_n>;g を g(f₁, ..., f_n) と書く。

すると、

• <X₁, ..., X_n>;f = f(X₁, ..., X_n)
• <π¹, ..., πⁱ);f = f(π¹, ..., πⁱ)

さらに、π¹ を x_i と書くことにすると、合理化できる。