総和

基数の集まりΘで、次の条件を満たすもので総和を考えたことがある。

1. 1∈Θ
2. α, β∈Θ ⇒ (α+β)∈Θ
3. α∈Θ, α≦β ⇒ α∈Θ

0 ≦ 1 なので、0∈Θ、有限基数はすべてΘに入る。可換モノイドMがあって、Mの元のX添字族 x:X→M が、#(X)∈Θ なら総和可能、という条件を考える。これで一応総和可能性の議論ができる。しかし、これは強すぎる。Θが加法で閉じているを落としたほうがいいときもある。そもそも、基数で総和をコントロールするのが相応しくないときもある。

それで、総和可能な族の類を与える定義もできる。しかし、族の類がとりとめのない。可算基数ω（ω＝N）を利用して、M^ωの総和可能な部分集合を使うのはどうか。これはけっこう実用性があると思う。

可換モノイドMと、M^ωの部分集合σと、S:σ→M という写像の組で構造を定義する。事前に二項演算を仮定しないで、族の集まりσと総和写像Sだけで定義できると思うし、そのほうが一般性があった好ましいだろう。