圏論からの準備

いろんいろな圏

1. Set 集合圏 -- しばしば使う
2. PtSet 付点集合の圏
3. Rel 関係の圏
4. Grp 群の圏
5. Ab 群の圏 -- 今回の主人公
6. Mon モノイドの圏 -- 今回はあまり触れないが重要
7. CRing -- 可換環の圏（環といえば可換と仮定することもある）
8. R-Mod -- 可換環R上の加群の圏、可換なら左右は区別しなくも大丈夫
9. Vect[k] -- kベクトル空間の圏、とりあえず k = R だけにする。

小さい可愛い圏

1. N 自然数 足し算モノイドとして圏
2. N 自然数 掛け算モノイドとして圏
3. N 自然数 順序集合として圏
4. N 自然数 順序に、足し算をモノイド積としてモノイド圏
5. 任意の順序集合 ハッセ図で図示
6. 任意のモノイド 対象は１個
7. 任意の有向グラフ 自由圏にする
8. 任意のラベル付き遷移系 状態空間が対象集合

終対象

これはものすごく重要。

1. 普遍性と極限の最初で最重要な例
2. 普遍性と極限は、結局は終対象
3. 終対象が分かれば、普遍性と極限も分かる。
4. 双対は始対象。余極限。

練習問題

終対象の定義をちゃんと述べて、終対象が up-to-iso で一意的であることを示せ。

直積

1. 2点離散図式の極限
2. Λ型の図の圏の終対象
3. C(X, A)×C(X, B) と C(X, A×B) の1:1対応を与える。（'×'のオーバーロードに注意）
4. n点離散図式の極限は、終対象と極限で作れる。

始対象と直和（余積）

双対です。

ゼロ対象と双積

• ゼロ対象 -- 1つの対象（単一頂点の図式）であり、同時に終対象でもあり始対象でもある。
• 双積 -- 1つの図式（約懸垂）であり、同時に積でもあり余積でもある。特にその頂点を双積と呼ぶことが多い。

等値化と等値核

1. e が、共端な対 f, g を等値化するとは、e;f = e;g
2. f, gを等値化する射のなかで普遍的（ある意味最大）なものが等値核（差核）。僕は、単に等値射とも言うことが多い。
3. 方程式の解全体（の埋め込み）
4. 等値核は、共端対を底面とする錐の圏の終対象

練習問題 2

等値核は必ずモノ射となることを示せ。

（けっこう難しい。かも？）

一意存在の使い方

∃!u.P(u) は次のように分けて考える。

1. ∃u.P(u), then a := εu.P(u)
2. ∀x, y.(P(x)∧P(y) ⊃ x = y)
3. そんなんで、P(x) を示せば x = a

普遍性（極限／余極限）の使い方

普遍性は一意存在を主張するから：

1. 既知のaが P(a) であることを確認
2. 未知のxが P(x) であることを確認
3. a = x だと言える。

これがなかなか使いこなせない（少なくとも檜山は）。