関数計算のエルドラド

Cは圏。End(C)は、Cの自己関手を対象、自然変換が射、関手結合をモノイド積、関手の水平結合を射のモノイド積とするモノイド圏だとする。また、Dがモノイド圏のとき、D内のモノイドの圏をMon(D)とする。

C上のモナドの全体をMnd(C)とすると、Mnd(C) = Mon(End(C))。M∈|Mnd(C)|に対して、そのクライスリ圏を Kl[M] とする。

D = Mnd(C) とすると、Dの対象はモナド（関手圏のモノイド）で、Dの射はモナド準同型となる。M |→ Kl[M] の対応は、どうもD上のindexed圏（共変なのでcoindexed圏だが）になるようだ。

一般に、KがD上のindexed圏のとき、その平坦化（グロタンディーク構成）は次のように定義できる。

1. 平坦化の対象は、A∈D と X∈K[A] の組 (A, X)。
2. (A, X)→(B, Y)である平坦化の射は、f:A→B というDの射と、φ_A:X→Y' in K[A]、φ_B:X'→Y in K[B] の組(f, φ_A, φ_B)。ただし、φ_Aとφ_Bはfにより引き戻し（または押し出し）の関係になっている。

要するに、クライスリ圏がファイバーとなるバンドルがあり、そのバンドルの接続を使って全空間にも平行四辺形の対角線として射を定義できるってことだ。ファイバー方向に走る射は垂直射、底空間の射を持ち上げただけの射は水平射となる。もちろん、垂直社も水平斜も垂直射も水平射も部分圏をなすが、「斜めの射」もあるってことね。Mnd(C)全体を考えるのではなくて、Mnd(C)の部分圏に対しても同じ構成ができる。

この方法を使うと、異なるモナドに関するクライスリ射を結合できる。もちろん、タダで結合できるワケじゃなくて、モナドとモナドの準同型をあいだにはさんでクライスリ圏を重ね合わせるんだけど。

まだ山勘だから勘違いの可能性もあるが、これがホントなら、出来上がった大きな圏は、関数計算のエルドラドだな。圏と幾何学の類似性としても面白い。