圏の線形化とか多項式とか
圏Cが与えられたとき、いくつかの方法で線形化できる。係数体Kはなんかに固定することにして、FV(X)は自由ベクトル空間だとする。
圏Dを |D| = |C| として、ホムセットを
- D(A, B) := FV(C(A, B))
と定義する。結合は双線形に拡張すれば、DはKベクトル空間（とテンソル積）の圏で豊饒化されるので、Cの線形化と言ってよい。
あるいは、ドカンとFV(C)を作ってしまって、圏の結合を掛け算として多元環を作る方法もある。これは、圏Cの射を1セルとみなしての1チェインの空間に自然な乗法を入れた代数ともいえる。Cから作ったK線形圏Dと、Cから作った多元環がどういう関係かはよく分からない（ほとんど同じように思えるが）。
最初の方法で作った圏を LK(C) とする。Kが分かっていれば L(C) と書く。Lは、全ての圏からK-線形圏への関手となる。L:Cat→LKCat 。LKCatからCatへの忘却関手を考えれば、Lはモナドで、自由ベクトル空間モナドとほとんど同じ（たぶん高次のモナド）。
K線形圏DとK可換環Rがあるとき、R(×)D を、次のように定義できる。
- (R(×)D)(A, B) = R(×)D(A, B)
これは単にテンソル積しただけだが、係数拡張なので、圏が拡張されたように思える。
特に、Rが不定元XのK-多項式環だとすると、圏R(×)D の射は、f0 + f1X + ... のような多項式で、雰囲気としては、R(×)D = D[X] という、不定元XからDの射を係数として作った多項式の代数になる。二変数多項式 D[X, Y]とかも定義できる。
こんなことして何がうれしいかというと、たぶん、おそらく、クレイジー計算の舞台がD[X]あるいは無限級数D[[X]]とかだと思うのだ。それと、Xをパラメータとして圏を摂動するような話にもなる。ひょっとすると圏の無限小変形とかの概念があるのかも知れない。
