時間、同期、直積

2つの状態空間S, T上を走る2つの軌道があるとき、それを直積S×T上の単一の軌道だとみなすには、2つの軌道を描くプロセッサの時間が同期してないといけない。これは、2つの時間区間をI, Jとすると、IとJの同型が前もって指定されているか、I→T, J→Tという2つの同型を通して、共通時間Tが使えるって前提。

もし2つの時間区間に同型がなければ、時間の空間の形状は I+Jだから、I+J→I+Jだけで、直積は出てこない。直積は、「異なる空間でも同じ時間が流れている」という状況でしか使えない。

別な言い方をすると、直積を作っていいのは、同じ時間を共有している2つの空間だけ、となる。では、１つの空間は1つの時間を所有するのだろうか？ そうとも言い切れない。仮に1つの時間を持つ空間を考えても、直和をとればすぐに仮定が壊れる。

2つのオートマトンが通信するには、アルファベットの一部に通信語がなくてはならない。A, Bが2つのアルファベットとして、通信語は、単射スパン A←C→B で指定されるだろう。例えば C = {*}として、*|→sendIt∈A、*|→receiveIt∈B とすると、sendItの実行がreceiveItの実行と同期して、結果的に通信ができる。

すると、語＝遷移は、内部遷移、通信入力語、通信出力語にわけて考えるといいのかもしれない。こうすると、通信語だけが同期して、内部遷移は非同期となる。通信語を別に考える方式と無音記号を考える方式は、同値な気がする、いやっ、微妙に違うか？