Fock空間構成のヒント - (保存用) 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編

次のようなことを考えていた：

J = {xは実数 | 0≦x≦1} 、Jは長さ1で両端を含む線分。

ここで、Δ₀は1点、Δ₁は線分（Jと同じ）、Δ₂は三角形、Δ₃は四面体。その後に続くΔ₄、Δ₅などは高次元の単体。

このこと自体は、別にオモシロ・クレイジー計算に過ぎない。しかし、Fock空間構成にヒントを与える気もする。

ベースを“関係＝遷移の圏Rel”とする。A={A[1], ..., A[n]} は、集合（Relの対象）の長さnの配列だとする。A(×)A を、[n]×[n] = {1, ...n}×{1, ...n} = {(1, 1), ..., (n, n)}という格子集合をインデックスとする族

として定義できる。同様に、A(×)A(×)A = A^(×)3 は3次元格子をインデックスとする族として定義できる。これを一種のテンソル積、テンソルベキと考える。

クリーネ級数

を考えることができる。これをK(A) = K({A[1], ..., A[n]})とする。f:A[i]→B[j] を行列（イイカゲンな記法を使った）とすると、fの拡張としてK(f)が定義できるだろう。

このKがFock空間の原型になると思われる。が、イマイチ曖昧なので、テンソルグラフの圏と、形式テンソル形成関手（formal-tensor-forming functor）TENSについて考えないといけない。

以前、XMLの連載記事で、多項式or級数 a₀ + a₁X + a₂X² + ... とか、その多変数版に触れたことがあるが、これへ係数達a_iで決まる形式級数となる。係数とは、プレイスホルダーを持つデータ構造＝テンプレート・データとなる。

つまり、テンプレート・データを係数とする多変数の形式級数の代数計算（クレイジー計算）によって関手の計算ができるってことだと思う。この計算をうまく行う舞台は、ω-semiadditive、またはω-summableな圏だろう。特殊ケースとして、ω-summableな半環の議論がある。

まーとにかく、Fock空間構成を含む形式級数で定義される関手（解析関手？）を定義する手段を準備することだな。