行列の圏と行列レトラクタブルな圏 - (保存用) 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編

コゥゼン圏（Kozen圏）とクリーネ圏（Kleene圏） - 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編

あたりの話に決着を付けたい。

前からなんとなくは知っていたことだが、昨日寝てたらまとまった（ような気がした）ので書いておく。

用語：近加法圏

加法圏：零対象と双積を持つAb圏（一般的）
半加法圏：零対象と双積を持つAbMon圏（by 檜山）

さらに、零対象を持つAbMon圏を近加法圏（nearly additive category）と呼ぶことにする。（nearlyのほうがalmostより接近度が弱いそうだ）

C行列の圏と行列レトラクション

Cが近加法圏として、C係数行列の圏MAT(C)を次のように定義する。

MAT(C)の対象は|C|^*（クリーネスター）
MAT(C)の射は行列、結合と恒等射は行列掛け算と単位行列

C→MAT(C)という標準的な埋め込みがあるから、これをIとする。

関手R:MAT(C)→Cと自然変換β::MAT(C)⇒R;I が次を満たすとき行列レトラクション関手と呼ぶ。

I;R = C
βは自然同型

行列レトラクションがあれば、定義よりただちに、CとMAT(C)が圏同値となる。自然同型変換βを行列のコントラクション（contraction）変換と呼ぶ。

MAT(C)のなかで、長さが1の列と1×1行列の全体は部分圏をなすので、それをMAT₁(C)とする。CとMAT₁(C)は自明に同型である。R;Iの像はMAT₁(C)である。コントラクション変換βは、MAT(C)をMAT₁(C)に縮める操作となっている。

（コントラクション変換を伴う）行列レトラクションを持つ近加法圏を行列レトラクタブルな圏と呼ぶ。

近加法圏の双積構造

零対象と双積を持つ圏は、自動的に（必然的に）近加法構造を持つと思うが確認してない。おそらくは、「双積を持つ近加法圏」という定義は冗長だろう。が、ここでは、双積を持つ近加法圏で考える。

近加法圏Cが行列レトラクタブルであるなら、そのレトラクション関手Rが、実は双積を与えるはず。つまり、A×B := R([A, B])。射影や入射は行列で定義すればよい。

逆に、近加法圏が双積を持つなら、その双積を使って行列レトラクタブルであることを示せる。

等式的双デカルト圏との関係

等式的双デカルト圏が零対象と双積を持つことは計算だけで示せる。逆に、零対象と双積から双デカルト構造を作れれば、次の3者が同じものだということになる。

（選ばれた）零対象と（選ばれた）双積を持つ圏
等式的双デカルト圏
行列レトラクタブルな近加法圏

さらに、S⊆|C|を選んで、MAT(S;C)を定義できる。MAT(S;C)は、対象をS^*に制限した行列の圏である。MAT(S;C)が行列レトラクション関手を持ち、したがってCと圏同値であるとき、SはCを生成すると言ってよい。Sがどのような集合（例えば有限集合）に取れるかによって、Cの複雑性を計ることができる。

いずれにしても、MAT(C), MAT(S;C)は道具に使えるし、近加法圏の圏NACの上のendofunctor MAT:NAC→NAC としても興味深い。