行列圏構成とカテグラフ
CがAbMon-圏であるとき、双デカルト圏Mat(C)を構成できるのだが、Mat(C)は、有限点集合と完全二部グラフからなるコボルディズム圏上で定義されてたC-カテグラフの圏とみなせる。よって、より一般のC-カテグラフ圏を問題にする。
Gが有向グラフで、頂点集合I, Fと埋め込みi:I→|G|, f:F→|G|があるとき、(G, i, f)を境界付きグラフと呼ぶ。I=δ0(G)=G0, F=δ1(G)=G1のようにも書く。Gの頂点にCの対象を、Gの辺にCの射を対応させたものを（G上の）C-カテグラフと呼ぶ。これは、半環係数の行列の拡張概念である。
有向グラフによる(0+1)コボルディズム圏（直和でモノイド圏になる）Sを考える。Sの0次元対象I（点の離散集合）に|C|の元を割り当てたものを対象として、Sの射であるコボルディズム・グラフ上のカテグラフを射とする圏を、S上のC-カテグラフの圏と呼ぶ。カテグラフ圏の対象や射に、圏Sの対象や射を一意的に対応させることができる。これをShape(X), Shape(f)などで表し、シェープと呼ぶ。Shapeは関手となる。カテグラフの圏Dに対して、SはDのシェープ圏とも呼ぶ。
シェープ圏である(0+1)コボルディズム圏Sの0次元対象の全体は点集合の族となる。これをS0とする（|S|のことだけど）。S0を添字集合とするC係数行列の圏をMat(C; S0)とする。特に、S0がNと同一視できるときは、Mat(C; S0) = Mat(C)。
形式言語理論に使うためには、係数圏CがAbMon-圏では不足で、ω総和可能なアーベルモノイドAbMonωで豊饒化する。CがAbMonω-圏だとする。Sは(0+1)コボルディズム圏だとして、DがS上のC-カテグラフの圏であるとき、振る舞い関手B:D→Mat(C; S0)を定義したい。
Bはクリーネ／ファインマン総和を使って具体的に構成できる。この振る舞い関手Bのセクションとなる埋め込みJ:Mat(C; S0)→D は自明に存在する。しかし、これだけでは、マイヒル／ネロード関手にはならない。双模倣、マルコフ移動、行列の変形に対応する高次射が必要だ。
