トレース、振る舞い、TQFT

振る舞い関手は、加法的TQFT関手なのだろう、たぶん。物理のTQFTは、テンソル積と乗法的トレースを持つベクトル空間の圏を値圏にするが、振る舞い関手は、双積と加法的トレースを持つコゥゼン圏に値を取る。

1-in 1-outの入出力仕様がA→Bであるようなコンポネントc:A→Bの振る舞いは、β(c):β(A)→β(B)で記述されるが、ここで、β(A)=Lang(A)=(アルファベットAの言語半環)、β(c)は半環の射となる。この例では、半環の圏に値を持つが、より一般には半環の行列圏に値をとる。

コンポネントの入出力結合（パイプ結合）は、関手βにたいして β(c|d)=β(c);β(d) として計算できる。問題は、コボルディズム結合（グルーイング）c#dに対する法則。

c#dが計算できるのは、c:A→B, d:A→Bのときだから、β(c#d) : β(A)→β(B)でよい。β(A)は半環だから、半環の乗法・が存在する。f, g:K→Lが半環の射のとき、f・g(x) = f(x)・g(x)として射の乗法'・'を定義できる。この乗法を使って、β(c#d) = β(c)・β(d) : β(A)→β(B) が定義できる。

コンポネントの直和に関しては、c:A→B, d:C→Dとして、β(c+d) = β(c)×β(d) : β(A)×β(C)→β(C)×β(D)と考えていいだろう。

まとめると：

1. β(c|d) = β(c);β(d) -- 入出力結合（パイピング）
2. β(c#d) = β(c)・β(d) -- コボルディズム結合（グルーイング、順次）
3. β(c+d) = β(c)×β(d) -- 直和（同時並列）

このままでは（特にβ(c#d) = β(c)・β(d)が）整合性に欠けるが、なんとか細工して、行列圏に乗法'・'（アダマール積かもしれない）を定義したい。

アクションの集合は、ベクトルベンドルのアナロジーとして考えたほうがいいかもしれないな。観測可能な入出力に影響を与えるのは、空間の位相とその空間上に定義されている力学法則だが、力学法則はバンドルの（非決定性の）セクションとして与えられるはずだ。