いろいろな繋がり

境界付き（有向）グラフの圏が“モノイド二重圏＝モノイド圏の圏の圏対象”のになるのは明らかだし、水平方向（コボルディズムの時空時間方向といってもよい）の結合に関しては加法的（繰り返し的、時間的）トレース・オペレータが存在する。このトレース・オペレータは、到達可能性を表現する。

この状況から、二重圏よりもっと一般的な状況が推測できる。ベース二重圏の上により大きな二重圏が広がっていて、境界オペレータ関手δ₀, δ₁とトレースTrがファイブレーションを与えているようだ。そして、二重ファイブレーション(δ₀, δ₁, Tr)が振る舞い関手、あるいはTQFT関手を与えている（少なくともその一部を構成している）。

具体例では、ベース二重圏は二部グラフを境界付きグラフとみなした二重圏、全体二重圏は一般の境界付きグラフの圏。

山勘もいいところだが、トレース、低次元幾何トポロジーのハンドル体、結び目のマルコフの定理、証明の正規化は関連しそうだ。同じ構造を持っている。

コンポネントの圏は、hom-setが二重ファイブレーションの構造を持つ。よって、二重ファイブレーションの圏DoubleFibを定義して、コンポネント圏はDoubleFibエンリッチな圏となるのだろう。実際、これはやたらにリッチな圏となる。しかも単なる圏ではなくて、モノイド積を持ちトレース（乗法的トレース、むしろ隠蔽的／存在的トレース）も持つ。

ジャングルのように複雑だ。だが、法則性と構造を持つ整合的ジャングルのはずだ。