トレース付き双デカルト・モノイド圏
木下「不動点をめぐる代数構造たち」（http://unit.aist.go.jp/cvs/tr-data/PS02-005.PDF）とKahl "Refactoring Heterogeneous Relation Algebras around Ordered Categories and Converse"（http://www.cosc.brocku.ca/Faculty/Winter/JoRMiCS/Vol1/PDF/v1n12.pdf）においてKleene圏が定義されている。これらは同等だが、適当にミックスした定義を採用する。
圏CがKleene圏であるあるとは：
- C(A, B)が最小元0 = 0A,Bを持つjoin半束であり、結合C(A, B)×C(B, C)→C(A, C)はjoin半束の準同型である。
- r∈C(A, A)に対してr*∈C(A, A)が定義されていて、以下の等式を満たす。
r:A→A, q:B→A, s:A→Cに対して、
- r* = id_A + r + r*;r* (recursive star definition)
- q;r⊆q ⇒ q;r* ⊆ q (right induction)
- r;s⊆s ⇒ r*;s ⊆ s (left induction)
順序⊆は、r⊆s ⇔ r + s = s なので等式的条件である。最小元を持つjoin半束は、可換ベキ等モノイドなので、Kleene圏は可換ベキ等モノイドの圏でenrichされていると考えてよい。
次の問題を考えたい。
- ベキ等な双デカルト・モノイド圏がトレースを持つとき、その圏はKleene圏であるか？
まず、双デカルトなら半加法的（semi-additive、可換モノイドでenrichできる）を示す必要があるが、これは難しくないだろう。(+)を双積（双デカルト積）として、加法は f + g = Δ;(f(+)g);∇で定義すればよい。
ベキ等性を入れてないと、あまりうまくいきそうにない（やってみないと、よくわからないが）。Δ;(f(+)f);∇ = f がベキ等性になる。Δ(f(+)f) = f;Δを使えば、Δ;∇ = 1 （2 = 1）で十分かな。
Kleeneスターf* は、Tr(∇;f;Δ)と、トレースを使って定義できる。圏的構造からEnd(A)にinduceされる集合論的構造を調べるのがいいかもしれない。圏がある程度単純なときは、あるUのEnd(U)のKleene代数構造から圏の構造も決まると思う。“ある程度単純”をうまく定義しないといけないが。
