タングルの圏と図解法の正体

category of tanglesの例を記す。

I=[0, 1]として、“正方形”I×Iのなかのn個の点を対象とする。A, B, Cなどが正方形に入った有限個の点だとして、射A→Bは、キューブ(I×I)×Iに埋め込まれた紐の、キューブ自己同型（の適当なクラス）で移りあう同値類だとする。ただし、紐は切れたり合流せずに、天上から床に降りていくものとする。この仮定では、A→Bの射があれば、Aの点の個数=Bの点の個数。f:A→B、g:B→Cの結合は、高さを半分にして、縦に積み重ねたキューブ（の類）で定義する。id_A:A→Aは、まっすぐに降りる紐（の類）。

床と天上である正方形を横に並べて適当に縮尺する操作により、モノイド積が入って、対称モノイド圏になる。このままではトレースを入れられないが、任意のコンパクト1次元多様体（適当な個数の円と線分の直和になる）の境界（線分の両端）を保ってキューブに埋め込む写像（の同値類）を射だと考えるとトレースを定義できる。

要するに、トレース付き対称モノイド圏を表す図そのものが、実際にトレース付き対称モノイド圏となる（当たり前のような不思議なような）。点に電荷を与えて、多少の特異点を許すとなコンパクト閉圏となる。

我々が使う図解は、見えざるものを可視化していたのではなくて、典型例そのものを提示していたに過ぎないわけだ、なるほど！