3圏の例

3圏はよくわかってないが、次はたぶん3圏だろう。

LOCを局所順序圏（locally (pre)ordered categories）の圏とする。LOCはCatの部分圏、つうかCatの部分圏への忘却関手を持つ圏となる。C, D∈|LOC|のとき、1セルを関手F:C→D、2セルを自然変換α::F→G:C→Dとして2圏となる（順序構造と整合するように定義する）。

α, β:F→G:C→Dだとすると、α_A, β_A:F(A)→G(A) （A∈|C|; F(A), G(A)∈|D|）である。つまり、α_A, β_A ∈D(F(A), G(A))。ところで、D∈|LOC|であることから、D(F(A), G(A))は順序集合であり、不等式 α_A ≦ β_A が意味を持つ（解釈可能）。

以上の状況で、すべてのA∈|C|に対して α_A ≦ β_A on D(F(A), G(A)) のとき、α≦βと定義する。これはLOC(C, D)が局所順序圏であることを意味する。順序集合を圏だと考え、α≦βを表す射をΓとすると、Γ:::α→β::F→G:C→D である。このLOCは、局所順序圏でenrichされた圏ともいえる。