横結合の絵

α::F→F':C→D, β::G→G':D→Eの横結合α*β:F;G→F';G':C→Eを絵に描いていみた。

(α*β)*γとα*(β*γ)を“側面”から見た図。結合律を示す目安になる。

実際に、この図を眺めて横結合*の結合律を示してみる。ただし、記号がかち合うことに気が付いたので：

• 圏：A, B, C, D
• 圏の対象と射：f:a→b
• 関手：F, G, H, F', G', H'
• 自然変換：α, β, γ

定義に注意すれば、ストレートに従う。

// ブラケットは丸括弧と同じことだが強調の意図あり
  ((α*β)*γ) 

= H((α*β)_Fa);γ_G'F'a

= H[G(α_a);β_F'a];γ_G'F'a

= HG(α_a);H(β_F'a);γ_G'F'a
  (α*(β*γ))

= HG(α_a);(β*γ)_G'F'a

= HG(α_a);[H(β_F'a);γ_G'F'a]

= HG(α_a);H(β_F'a);γ_G'F'a

ストレートとはいいながら、図を見ないでこれを書き下すのは難しい。