モニャドセミナー4 資料

前置きとか予定とか省略

だけど、ちょっとは言っておくと（＜省略してねー）：

1. クライスリ圏はもちろんやるぞー
2. でも自然変換をほとんど使わないよ
3. なぜなら、スタンピング・モナド（or コモナド）に限定するから
4. 気が向いたら一般論を少し入れるが、一般論のアドリブ計算に自信がない。失敗しても責めないでね。
5. 右と左でどうせハマる
6. 現実のプログラミングやシステムとの関係を強調する予定
7. ラップ／アンラップが基本的な道具だよ
8. 目標は、トランザクション計算（エコ計算）の、作用付き両クライスリ圏の構成

圏と関手の復習：ステップbyステップの定義

• ステップ1 dom, cod -- 有向グラフ
• ステップ2 dom, cod, id -- 反射的有向グラフ
• ステップ3 dom, cod, id, comp -- 反射的マグマ
• ステップ4 結合法則と単位法則 -- 圏

• サイドステップ2' dom, cod, comp -- マグマ
• サイドステップ3' 結合法則 -- 半圏

• ステップ1 dom, cod を保存 -- 有向グラフの準同型
• ステップ2 dom, cod, id を保存 -- 反射的有向グラフの準同型
• ステップ3 dom, cod, id, comp を保存 -- 反射的マグマの準同型＝関手

• サイドステップ2' dom, cod, comp を保存 -- マグマの準同型＝半関手

自然変換

モニャドセミナー3で取り上げられませんでした。無念だ。今日も無理だ。ごめんなさい。

お詫びに、いいことを教えましょう。自然変換αは次のように書くと具合がいいぞ。

     F

α:: ‖ : C→D

     ∨

     G
または
            C

α:: F⇒G : ↓

            D

箴言集

箴言＜しんげん＞つうより、ぼやきの言葉：

1. とにかく、先入観、こだわり、偏見から抜け出そう。
2. 定義や計算に意味を求めすぎない。
3. 特に、唯一の意味を求めるのはたいていは不毛。
4. 実体を過剰に気にしない。「なんでもいいや」と割り切る。
5. 構文の意味は、その構文自体だという解釈だってある。
6. 集合／写像にこだわらない。数や図形は、そのまま素直に捉える。
7. 集合／写像による表現は重要だが、それがベストでも便利でもないことがある。
8. 対象に要素（元）があると思うな。あっても使うな。（「初等的」って言うのだ）
9. 「変だ」「違う」は、根拠を出して言う。気分だけで言わない。（次男のホワイトリスト方式好き嫌いには困った）
10. 認識や分類は観察者の主観であって、対象物側にあるのではない。
11. 態度を変えれば、同じ対象物に違う構造が見えてくる。違う構造は違うモノ。
12. 極めてツマンナイものに注目する。空、単元集合、pointing map、自明モノイド（いくつかの意味がある）、包含写像、射影、忘却関手など。
13. 用語・記法の歴史的な経緯や事情はあきらめろ。いまさらどうにもならない。（が、檜山はあきらめが悪い。）
14. 記号はいつだって足りない、ホントに足りない。A, B, C∈|C| -- アリッ!?
15. ズボラな記法や用法に慣れる。id_A = A とかは、計算上も重要なズボラ・テク。

圏への先入観を砕く目的で「単純平面タングル」を出した。模様が射、模様は模様、それだけ（田辺デモ参照）。

力学的運動の圏なんてのはどう？ 射は写像だけど、パラメータは時間。その時間が対象なわけじゃない。

モノイドとコモノイド

• モノイドの例を思い出そう
• 特に今日は、整数の足し算（カウンタ）、文字列の連接（テキストファイル）、2次元アフィン変換（タートル・グラフィックス）を考える。
• モノイドの法則を図示しよう。

(空白)

• 矢印をひっくり返せべば、コモノイドの定義と法則
• 今日使うコモノイドは一種類、演算の名前は色々：対角、余積（余乗法）、余加法、複製、分岐などなど。

(空白)

今日取り扱う圏と関手

Mはモノイド、Vはコモノイドと約束する。

記号	短い説明
C	基本とする圏、モノイド積を持つ
C×M	Mによる右スタンピング構成（で得られた圏）
M×C	Mによる左スタンピング構成
M×S	M-加群Sによる右スタンピング構成、左も使うかも
RM	Mによる右スタンピング（右掛け算）関手 C→C
LM	Mによる左スタンピング（左掛け算）関手 C→C
Kl(RM)	右スタンピング・モナドRMのクライスリ圏
Kl(LM)	左スタンピング・モナドLMのクライスリ圏
CoKl(LV)	コモノイドVによる左スタンピング・コモナドLVの余クライスリ圏
DiKl(LV, RM)	両（双）クライスリ圏
AcDiKl(LV, RM)	作用付き両クライスリ圏

• モノイド積の典型例は直積
• M-加群は線形代数の用語を拝借。M-作用を持つ対象。
• R^A, ^AL と書くと具合がいい。

その他、重要な関手

• J : A×C→C -- スタンピング構成した圏から、もとの圏へ
• W : Kl(R_M)→C×M ラッピング
• W' : Kl(R_M)→C×S ラッピングもどき、一番わかりやすいが、アンラップ（中身の取り出し、再現）ができない
• W : Kl(L_V)→V×C ラッピング
• W : DiKl(L_V, R_M)→V×C×M ラッピング
• W : AcDiKl(L_V, R_M)→V×C×M ラッピング

スタンピング構成

今日ずっと基礎にする圏C

1. なんらかのデータ型、データ領域が対象
2. なんらかの計算処理／計算主体が射
3. 計算処理／計算主体を計算エージェントと呼ぶことがある
4. 計算エージェントは内部と外部をわかつ境界を持っている
5. 入出力は、n-in m-out または、タプリングを許して 1-in 1-out

A∈|C|を固定して、次の圏を作れる。

• 対象は A×X の型のCの対象
• 射は、A×X→A×Y の形のCの射
• dom(f:A×X→A×Y) = X
• cod(f:A×X→A×Y) = Y
• compはfのcomp

この圏を _A×C、面倒だから A×C と書く（これはイイカゲン過ぎてヤバイ）。

ホムセットによる定義がいいかも。

関手J

J: A×C→C

• J(X) = A×X
• J(f:X→C in A×C) = (f in C)

このJは現実的にどんな意味があるか？

• X→Y が、Cでは A×X→A×Y ってことは、、、
• クラス定義を固定しての、、、
• ×××を素朴な純関数計算で表してみると

数式と現象

• 二次関数を学び、ちゃんと使える人はたくさんいる。
• その二次関数で、「投げたボール」を記述できて、到達点を計算できることを知らない人はたくさんいる。
• 小中学校の素材のなかにも、あれだけ圏が発見できる。
• プログラミングやシステムの「現象」に、圏やモナドが含まれてないハズはないでしょ。どう考えても。
• ヒープ（共有領域）もスタック（プライベート領域）も、参照引数も値引数も、胃イミュータビリティもディープコピーも、クラスとオブジェクトも、単一代入も、DIも、総称関数も依存型も、当然に圏論で現象記述（定式化）できるよ。当たり前だ。

今日のモノイドさん、モナドさん

1. 有限カウンタ 0から9 有界
2. 有限カウンタ 0から9 サイクリック（ラップアラウンド）
3. 出力モードのテキストファイル
4. タートルグラフィックス ペンなし
5. タートルグラフィックス ペンあり

• 状態値と作用値と遷移
• あるいは、位置と力と運動
• タートルグラフィックスのコマンドはアフィン変換として考える
• タートルグラフィックスの軌跡の扱いが少し面倒かな

それっ、クライスリ圏

状態値は無視して、作用値＝モノイドの元、作用の結合（合成）＝モノイド演算 として
クライスリ射とクライスリ結合を作ってしまえ。

結合法則と単位律も直接に証明しよう。

実例で考えると、状態空間への更新リクエストAPIを使う関数だよね。

ラッピングを使ってみよう

• オブジェクト指向風の実行環境の上で実装するってことだね
• アンラップできるところがミソ
• アンラップがあるので、ラッピングは単射（埋め込み）
• 既にクライスリ圏を作っているので、ラッピングは関手だと言っていい

ラッピングを先に考えると

Dがマグマ、Cが圏、F:D→C という対応があり：

1. Fは単射
2. Fはマグマの結合演算を保つ

このとき、Dは半圏であり、Fは半関手。

さらに、Dが反射的マグマ、Cが圏、F:D→C という対応があり：

1. Fは単射
2. Fはマグマの結合演算を保つ
3. Fはマグマの恒等を保つ

このとき、Dは圏であり、Fは関手。

以上の事実を使って、クライスリ圏を構成してみよう。

余クライスリ圏

対角コモノイドのコモノイダル・スタンピング・モナドコモナドから、反射的マグマを作り、余クライスリ圏も作ってしまえ。

状態スタンピングはイマイチ

ラッピングに近いことができるが、作用がどうなっているか外部からは予測できないので、アンラップできない。アンラップがないので単射性が示せず、埋め込み関手が構成できない。

もう少し工夫しないと。

ここらで愚痴を言っておきたい

「… だーから右と左のハナシはいやなんだよなー」

• (a・b)*x = a*(b*x) 気持ちいい左作用
• (a・b)*x = b*(a*x) 気持ち悪い左作用
• x*(a・b) = (x*a)*b 気持ちいい右作用
• x*(a・b) = (x*b)*a 気持ち悪い右作用

前回（モニャドセミナー3）でも間違えたしよ。

「理解をさまたげるモノ／誤解をまねくモノ、それと対処」のの「右と左、上と下、前と後」参照

加群（作用）の公理

カウンタ、テキストファイル、タートルグラフィックスが例。

結合律を絵で表そう。

後はなりゆき

クライスリ圏の一般論はたぶんやらないと思うが、一応書いておく：

• F(μ_X) ; μ_X = μ_F(X) ; μ_X
• F(η_X) ; μ_X = id_F(X)
• η_F(X)) ; μ_X = id_F(X)

  X -- (f) ---> F(X)

  |              |

  |η_X          |η_F(X)

  |              |

  v              v

 F(X) -(F(f))-> FF(X)

後はなりゆき 2

次の計算はアドリブでは不安だ。写真を載せておこう。

あと、双モノイド法則（3種）が必要だが、それはアドリブ。