確率測度の空間の上の距離 - (保存用) 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編

ポンペイウ／ハウスドルフ距離は別物だが、ついでに入れておく。

PH: ポンペイウ／ハウスドルフ距離〈Pompeiu–Hausdorff distance〉
H: ハッチンソン距離〈Hutchinson metric〉 → https://en.wikipedia.org/wiki/Hutchinson_metric
W: ワッサースタイン距離／カントロヴィッチ／ルビンスタイン距離〈Wasserstein metric | Kantorovich-Rubinstein metric〉→ https://en.wikipedia.org/wiki/Wasserstein_metric
LP: レヴィ–プロホロフ距離〈Lévy–Prokhorov metric〉→ https://en.wikipedia.org/wiki/L%C3%A9vy%E2%80%93Prokhorov_metric
M: モンジュ／カントロヴィッチ距離〈Monge-Kantorovich distance〉ハッチンソン距離と同じ、ワッサースタイン距離の双対らしい → http://www.acadiau.ca/~fmendivi/Papers/monge_kantorovich.pdf

$d_{PH}(X, Y) = max\{sup_{x\in X} \; inf_{y\in Y} \; d(x, y),\, sup_{y\in Y} \; inf_{x \in X}\; d(x, y)\}$

$d_H(\mu, \nu) = sup\{\int u(x)\mu(dx) - \int u(x)\nu(dx) \::\: u\in Lip_1(X) \}$

$d_W^p(\mu, \nu) = $inf_{\gamma \in \Gamma(\mu, \nu)}\(\int_{M\times M}d(x, y)^p d\gamma(x, y)$\)^{1/p}$

$d_{LP}(\mu, \nu) = inf\{\epsilon \gt 0 | \mu(A) \leq \nu(A^{\epsilon}) + \epsilon \:\mbox{and}\: \nu(A) \leq \mu(A^{\epsilon}) + \epsilon \:\mbox{for all}\: A \in Borel(M)\}$

$d_{MK}(\mu, \nu) = sup\{ \int_X f(x)(\mu - \nu)(dx) \::\: f\in Lip_1(X)\}$

[追記]Hutchinson, Wasserstein, Kantorovich, Lévy, Prokhorov で検索したら、

Title: On choosing and bounding probability metrics
URL: https://arxiv.org/abs/math/0209021

確率測度の空間上の距離をめとめている。力作だ。[/追記]